Question

等邊三角形ABC的邊AB在直線l上，動(dòng)點(diǎn)D也在直線l上（不與A，B點(diǎn)重合），△ADE為等邊三角形．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上且△ADE與△ABC在直線l的同側(cè)時(shí)，試猜想線段BE與CD的大小關(guān)系為

BE=CD

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段BA上且ADE與ABC在直線l異測(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明結(jié)論發(fā)生了怎樣的變化；若成立，說(shuō)明理由，并求出此時(shí)線段BE與CD所在直線的夾角α（0°＜α＜90°）
（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上且△ADE與△ABC仍然在直線l的異測(cè)時(shí)，試在圖中畫③出相應(yīng)的圖形，并直接判斷此時(shí)BE與CD的關(guān)系（不必說(shuō)明理由）．

Answer 1

分析：（1）如圖①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△BAE≌△CAD，就可以得出BE=CD；
（2）如圖②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△BAE≌△CAD，就可以得出BE=CD；
（3）如圖③根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△BAE≌△CAD，就可以得出BE=CD；

解答：解：（1）BE=CD
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，AD=DE=AE，∠ABC=∠BCA=∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°．
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠DAC AE=AD

，
∴△BAE≌△CAD，
∴BE=CD．
故答案為：BE=CD．
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，BE=CD．
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，AD=DE=AE，∠ABC=∠BCA=∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°．
在△BAE和△CAD中，

AE=AD ∠BAE=∠CAD AB=AC

∴△BAE≌△CAD，
∴BE=CD．∠ACD=∠ABE．
延長(zhǎng)CD到F交BE于點(diǎn)F，
∴∠BCD+∠DBE=60°，
∴∠BFC=60°．
∴線段BE與CD所在直線的夾角α為60°．
（3）如圖③BE=CD，
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，AD=DE=AE，∠ABC=∠BCA=∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAE=∠DAC=120°．
在△BAE和△CAD中，

AE=AD ∠BAE=∠CAD AB=AC

，
∴∴△BAE≌△CAD，
∴BE=CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及全能等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，在解答過(guò)程中合理利用等邊三角形的邊角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．