求兩個不同的自然數(shù),其算術(shù)平均數(shù)A和幾何平均數(shù)G(指兩數(shù)積的算術(shù)平方根)都是兩位數(shù),且A,G中一個可由另一個變換十位數(shù)字與個位數(shù)字得到.
分析:首先設(shè)兩個不同的自然數(shù)x,y,根據(jù)題意可表示出A與G的值,即可求得以x,y為兩根的二次方程,則可確定判別式△的取值,再設(shè)兩位數(shù)A=10m+n,則G=10n+m(m,n是數(shù)字),代入判別式△,由△是完全平方數(shù),即可列得方程組,求解方程組,則可求得答案.
解答:解:設(shè)兩個不同的自然數(shù)x,y,
則A=
,G=
,
∴
,
∴以x,y為兩根的二次方程:t
2-2At+G
2=0,
∵x,y是自然數(shù),
∴△=(2A)
2-4G
2=4(A
2-G
2)=4(A+G)(A-G),
又設(shè)兩位數(shù)A=10m+n,則G=10n+m(m,n是數(shù)字),
∴△=4(11m+11n)(9m-9n)=36×11×(m+m)(m-n)是完全平方數(shù),
又∵1<m+n≤18,0<m-n≤8,
∴
或(不合)
解得m=6,n=5.
∴A=65G=56t
2-130t+56
2=0,
解得t
1=98,t
2=32.
答:兩個不同自然數(shù)為98和32.
點(diǎn)評:此題考查了整數(shù)問題的綜合應(yīng)用,二次方程的判別式,完全平方數(shù)以及算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)等知識.此題綜合性很強(qiáng),注意分析,合理應(yīng)用判別式的知識是解此題的關(guān)鍵.