Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)（﹣1，0）、（3，0），與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線與拋物線及線段分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在軸正半軸上，=2，連接、．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）過(guò)點(diǎn)的直線將（2）中的平行四邊形分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說(shuō)明平分平行四邊形面積的理由）

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：；(2)點(diǎn)坐標(biāo)為或；(3) ①當(dāng)時(shí)，所求直線的解析式為：；②當(dāng)時(shí)，所求直線的解析式為：.

【解析】

（1）將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線函數(shù)中，可求出未知量，.則可求出該拋物線解析式；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)可知，，用含未知量的代數(shù)式表示的長(zhǎng)度．則可得點(diǎn)坐標(biāo) ；

（3）平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)（或?qū)�角線的中點(diǎn)），過(guò)對(duì)稱(chēng)中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過(guò)點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)中心的直線平分的面積．求得此直線，首先要求得對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo).則兩點(diǎn)坐標(biāo)可確定該直線.

解：（1）點(diǎn)、在拋物線上，

∴，

解得，，

拋物線的解析式為：．

（2）在拋物線解析式中，令x=0，得y=3，
∴C（0，3）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，，將，C坐標(biāo)代入得：

，

解得k=-1，b=3，

∴．

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則P（x，0），F（x，-x+3），
∴EF=yE-yF=-x2+2x+3-（-x+3）=-x2+3x．
∵四邊形ODEF是平行四邊形，
∴EF=OD=2，
∴-x2+3x=2，即x2-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）．

（3）平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)（或?qū)�角線的中點(diǎn)），過(guò)對(duì)稱(chēng)中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過(guò)點(diǎn)A與ODEF對(duì)稱(chēng)中心的直線平分ODEF的面積．

①當(dāng)P（1，0）時(shí)，
點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2），又D（0，2），
設(shè)對(duì)角線DF的中點(diǎn)為G，則，

設(shè)直線AG的解析式為y=kx+b，將A（-1，0），坐標(biāo)代入得：

解得

∴所求直線的解析式為：

②當(dāng)P（2，0）時(shí)，
點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，1），又D（0，2），
設(shè)對(duì)角線DF的中點(diǎn)為G，則

設(shè)直線AG的解析式為y=kx+b，將A（-1，0），坐標(biāo)代入得：

解得

∴所求直線的解析式為：

綜上所述，所求直線的解析式為：或．