Question

【題目】邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DF⊥DE，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF，交AC于點(diǎn)M．

（1）判定△DFE的形狀，并說明理由；

（2）設(shè)CE=x，△AMF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)x為何值時(shí)y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）△DFE為等腰直角三角形，理由見解析；（2）當(dāng)時(shí)，y有最大值1

【解析】

（1）先判斷出∠FDA=∠CDE，證得△ADF≌△CDE，即可得出結(jié)論；
（2）分兩種情況，利用平行線分線段成比例定理得出比例式表示出AF邊上的高，即可得出結(jié)論；

（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=∠DCB=∠DAB =90°，

∵∠FDE=∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠ADE =∠CDE+∠ADE=90°，

∴∠ADF=∠CDE，

在△ADF和△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE，

∴DF=DE，

∴△DFE為等腰直角三角形；

（2）過M作MG⊥AB于G，

設(shè)MG=h，

又∵∠GAM =45°，

∴AG =MG=h，由（1）知FA=CE =，

∵CB⊥AB，

∴MG//BC，

∴，即，

∴h=，

∴；

即，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值1；