△ABC中∠C=30°,O是外心,I是內(nèi)心,邊AC上的D點與邊BC上的E點使得AD=BE=AB.求證:OI丄DE,OI=DE.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/53645f14dbcf6.png)
證明:如圖所示,作∠DAO平分線交BC于K.
易證△AID≌△AIB≌△EIB,
∠AID=∠AIB=∠EIB.
利用內(nèi)心張角公式,有
∠AIB=90°+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
∠C=105°,
∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
∵∠AKB=30°+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
∠DAO
=30°+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
(∠BAC-∠BAO)
=30°+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
(∠BAC-60°)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
∠BAC=∠BAI=∠BEI.
∴AK∥IE.
由等腰△AOD可知DO丄AK,
∴DO丄IE,即DF是△DIE的一條高.
同理點O是△DIE之垂心,OI丄DE.
∵∠DIE=∠IDO,∴OI=DE.
分析:輔助線如圖所示,作∠DAO平分線交BC于K.易證△AID≌△AIB≌△EIB,∠AID=∠AIB=∠EIB.利用內(nèi)心張角公式,有
∠AIB=90°+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
∠C=105°,可證得AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK,從而得出OI丄DE.由∠DIE=∠IDO,則OI=DE.
點評:本題考查了三角形的內(nèi)切圓和全等三角形的判定和性質(zhì).