Question

【題目】邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，DE∥AB，EC=2．

（1）如圖1，將△DEC沿射線EC方向平移，得到△D′E′C′，邊D′E′與AC的交點(diǎn)為M，邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點(diǎn)N，當(dāng)CC′多大時(shí)，四邊形MCND′為菱形？并說(shuō)明理由．

（2）如圖2，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，連接AD′、BE′．邊D′E′的中點(diǎn)為P．

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；

②連接AP，當(dāng)AP最大時(shí)，求AD′的值．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)CC'=時(shí)，四邊形MCND'是菱形，理由見(jiàn)解析；(2)①AD'=BE'，理由見(jiàn)解析；②．

【解析】

（1）先判斷出四邊形MCND'為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得出CN=CM，即可求出CC'；

（2）①分兩種情況，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可判斷出△ACD≌△BCE'即可得出結(jié)論；

②先判斷出點(diǎn)A，C，P三點(diǎn)共線，先求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

（1）當(dāng)CC'=時(shí)，四邊形MCND'是菱形．

理由：由平移的性質(zhì)得，CD∥C'D'，DE∥D'E'，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，

∴∠ACC'=180°-∠ACB=120°，

∵CN是∠ACC'的角平分線，

∴∠D'E'C'=∠ACC'=60°=∠B，

∴∠D'E'C'=∠NCC'，

∴D'E'∥CN，

∴四邊形MCND'是平行四邊形，

∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，

∴△MCE'和△NCC'是等邊三角形，

∴MC=CE'，NC=CC'，

∵E'C'=2，

∵四邊形MCND'是菱形，

∴CN=CM，

∴CC'=E'C'=；

（2）①AD'=BE'，

理由：當(dāng)α≠180°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠ACD'=∠BCE'，

由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，

∴△ACD'≌△BCE'，

∴AD'=BE'，

當(dāng)α=180°時(shí)，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，

即：AD'=BE'，

綜上可知：AD'=BE'．

②如圖連接CP，

在△ACP中，由三角形三邊關(guān)系得，AP＜AC+CP，

∴當(dāng)點(diǎn)A，C，P三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大，

如圖1，

在△D'CE'中，由P為D'E的中點(diǎn)，得AP⊥D'E'，PD'=，

∴CP=3，

∴AP=6+3=9，

在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'=．