【題目】如圖,拋物線的頂點為C(1,﹣2),直線y=kx+m與拋物線交于A、B來兩點,其中A點在x軸的正半軸上,且OA=3,B點在y軸上,點P為線段AB上的一個動點(點P與點A、B不重合),過點P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點E.
(1)求直線AB的解析式.
(2)設點P的橫坐標為x,求點E的坐標(用含x的代數(shù)式表示).
(3)求△ABE面積的最大值.
【答案】(1)直線AB解析式為y=x﹣;
(2)E點的坐標為(x, x2﹣x﹣);
(3)△ABE面積的最大值為.
【解析】試題分析:(1)由條件可先求得拋物線解析式,則可求得B點坐標,再利用待定系數(shù)法可求得直線AB解析式;
(2)由條件可知P、E的橫坐標相同,又點E在拋物線上,則可表示出E點坐標;
(3)由(2)可用x表示出PE的長,則可用x表示出△ABE的面積,再利用二次函數(shù)的性質可求得其最大值.
試題解析:(1)∵拋物線頂點坐標為(1,﹣2),
∴可設拋物線解析式為y=a(x﹣1)2﹣2,
∵OA=3,且點A在x軸的正半軸上,
∴A(3,0),
∴0=a(3﹣1)2﹣2,解得a=,
∴拋物線解析式為y=(x﹣1)2﹣2=x2﹣x﹣,當x=0時可得y=﹣,
∴B(0,﹣),
設直線AB解析式為y=kx+b,把A、B坐標代入可得,解得,
∴y=x﹣;
(2)∵點P為線段AB上的一個動點,且PE⊥x軸,
∴點E的橫坐標為x,
∵點E在拋物線上,
∴E點的坐標為(x, x2﹣x﹣);
(3)∵點P為線段AB上的一點,
∴P(x, x﹣),則E(x, x2﹣x﹣),
∴PE=x﹣﹣(x2﹣x﹣)=﹣x2+x,
由(2)可知點B到PE的距離x,點A以PE的距離為3﹣x,
∴S△ABE=PEx+PE(3﹣x)=PE(x+3﹣x)=PE=(﹣x2+x)=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,
∵﹣<0,
∴當x=時,S△ABE有最大值,最大值為,
∴△ABE面積的最大值為.
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【題目】將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標系中,O(0,0),A(6,0),C(0,3).動點Q從點O出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動,運動 秒時,動點P從點A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點O運動.當其中一點到達終點時,另一點也停止運動.設點P的運動時間為t(秒).
(1)求點B的坐標,并用含t的代數(shù)式表示OP,OQ;
(2)當t=1時,如圖1,將△OPQ沿PQ翻折,點O恰好落在CB邊上的點D處,求點D的坐標;
(3)在(2)的條件下,矩形對角線AC,BO交于M,取OM中點G,BM中點H,求證:當t=1時四邊形DGPH是平行四邊形.
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【題目】如圖,△ABC中,E為邊BC延長線上一點,∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點D,若∠A=46°,則∠D的度數(shù)為( 。
A.46°
B.92°
C.44°
D.23°
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【題目】如圖,矩形ABCD的邊AB在x軸上,AB的中點與原點重合,AB=2,AD=1,過定點Q(0,2)和動點P(a,0)的直線與矩形ABCD的邊有公共點,則:
(1)a的取值范圍是;
(2)若設直線PQ為:y=kx+2(k≠0),則此時k的取值范圍是 .
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【題目】下列各組數(shù)中不可能是一個三角形的邊長的是( )
A.5,12,13
B.5,7,7
C.5,7,12
D.101,102,103
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【題目】有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了流感,那么每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為( )
A.8人
B.9人
C.10人
D.11人
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點,以格點為頂點分別按下列要求畫圖:
(1)在甲圖中,畫出一個平行四邊形A1B1C1D1 , 使其面積為3;
(2)在乙圖中,畫出一個正方形A2B2C2D2 , 使其面積為5;
(3)在丙圖中,畫出一個菱形A3B3C3D3 , 使其面積為6.
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