【題目】如圖,拋物線的頂點為C1,﹣2),直線y=kx+m與拋物線交于A、B來兩點,其中A點在x軸的正半軸上,且OA=3,B點在y軸上,點P為線段AB上的一個動點(點P與點A、B不重合),過點P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點E

1)求直線AB的解析式.

2)設點P的橫坐標為x,求點E的坐標(用含x的代數(shù)式表示).

3)求ABE面積的最大值.

【答案】1)直線AB解析式為y=x;

2E點的坐標為(x x2x);

3ABE面積的最大值為

【解析】試題分析:(1)由條件可先求得拋物線解析式,則可求得B點坐標,再利用待定系數(shù)法可求得直線AB解析式;

(2)由條件可知P、E的橫坐標相同,又點E在拋物線上,則可表示出E點坐標;

(3)由(2)可用x表示出PE的長,則可用x表示出ABE的面積,再利用二次函數(shù)的性質可求得其最大值.

試題解析:(1)∵拋物線頂點坐標為(1,﹣2),

可設拋物線解析式為y=a(x﹣1)2﹣2,

OA=3,且點A在x軸的正半軸上,

A(3,0),

0=a3122,解得a=,

拋物線解析式為y=x12﹣2=x2x,當x=0時可得y=,

B0,),

設直線AB解析式為y=kx+b,把A、B坐標代入可得,解得,

y=x;

(2)∵點P為線段AB上的一個動點,且PEx軸,

點E的橫坐標為x,

點E在拋物線上,

E點的坐標為(x, x2x);

(3)∵點P為線段AB上的一點,

Px, x),則Ex x2x),

PE=x﹣(x2x)=﹣x2+x,

由(2)可知點B到PE的距離x,點A以PE的距離為3﹣x,

SABE=PEx+PE3x=PEx+3x=PE=(﹣x2+x=x2+x=x2+

∵﹣<0,

x=時,SABE有最大值,最大值為

∴△ABE面積的最大值為

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