Question

梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，對角線BD平分∠ABC，
（1）求證：四邊形ABED是菱形．
（2）若∠ABC與∠C互余，BC=8，CD=4，求梯形ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可證明四邊形ABED是平行四邊形，再通過平行線的性質和角平分線的性質證明其鄰邊相等即可證明四邊形ABED是菱形；
（2）設AB=x，由（1）可知四邊形ABED是菱形，所以AD=AB=BE=ED=x，再有條件∠ABC與∠C互余，可證明三角形EDC是直角三角形，利用勾股定理建立方程求出x的值即可．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBD，
∵AB∥DE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠EBD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴四邊形ABDE是菱形；

（2）解：設AB=x，
∵四邊形ABED為菱形，
∴AD=AB=BE=ED=x，
∴CE=BC-BE=8-x，
∵∠DEC=∠ABC，∠ABC+∠C=90°，
∴∠DEC+∠C=90°，
∴∠CDE=90°
∴DE2+CD2=CE2√
∴4²+x²=（8-x）²，
∴x=3
∴梯形ABCD的周長=x+x+8+4=18．

點評：本題考查了梯形、勾股定理的運用、菱形的判定以及菱形的性質，難度一般，解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的判定定理及菱形的性質．