Question

已知Rt△ABC的斜邊AB=，兩直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x²-（2m+1）x+2m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求m的值．
（2）求Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到AC+BC=2m+1，AC×BC=2m，求出AC²+BC²=4m²+1，根據(jù)勾股定理得出方程即可求出m；
（2）求出方程的解得出AC、BC，連接OD、OF，根據(jù)三角形的內(nèi)切圓求出∠ODC=∠OFC=90°=∠C，推出四邊形ODCF是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OD=OF=CD=CF，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出AC-OD+BC-OD=AB，代入求出即可．
解答：（1）解：∵兩直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x²-（2m+1）x+2m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴AC+BC=2m+1，AC×BC=2m，
∴AC²+BC²=（AC+BC）²-2×AC×BC=（2m+1）²-4m=4m²+1，
∵AC²+BC²=AB²，
∴4m²+1=5，
∵m＞0，
∴m=1，
答：m的值是1．

（2）解：把m=1代入得：x²-3x+2=0，
∴x₁=1，x₂=2，
∴AC=1，BC=2，
連接OD、OF，
∵圓O切AC于D，切BC于F，
∴∠ODC=∠OFC=90°=∠C，
∵OD=OF，
∴四邊形ODCF是正方形，
∴OD=OF=CD=CF，
∵圓O切AC于D，切BC于F，切AB于E，
∴AE=AD，BE=BF，
∴AC-OD+BC-OD=AB，
∴1-OD+2-OD=，
OD=，
答：Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的內(nèi)切圓，正方形的性質(zhì)和判定，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．