Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DAB=22.5º，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C，使得∠ACD=45º。

（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若AB=，求BC的長(zhǎng)。

Answer 1

（1）證法一：如圖，連接OD。

∵∠DAB=22.5º，∠DOC=2∠DAB，

∴∠DOC=45º。

又∵∠ACD=45º，

∴∠ODC=180º－∠ACD－∠DOC=90º，即OD⊥CD．

∴CD是⊙O的切線(xiàn)．

證法二：如圖，連接OD。

∵∠DAB=22.5º，∠ACD=45º，

∴∠ADC=180º－∠DAB－∠ACD=112.5º。

又∵OA=OD，

∴∠ADO=∠DAB=22.5º，

∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=90º，即OD⊥CD。

∴CD是⊙O的切線(xiàn)。

（2）解：由（1）可得：△ODC是等腰直角三角形，

∵AB=，AB是直徑，

∴OD=OB=

∴OC=OD=2，

∴BC=OC－OB=。