Question

如圖所示，，tan∠ABC=2，．
①求過A、B、C三點的二次函數解析式；
②若D是AB的中點，試判斷點D在這條二次函數的圖象上嗎？并說明理由；
③若y隨x的增大而減小，求x的取值范圍．

Answer 1

解：①設OB=x，則OA=2OB=2x；
Rt△OAB中，由勾股定理得：OA²+OB²=AB²，
即x²+4x²=20，解得x=2；
∴OB=2，OA=4，同理可得OC=3；
故：A（0，4），B（-2，0），C（3，0），
∴．

②∵D是AB的中點，
∴D（-1，2）；
∵，
∴點D一在這條二次函數的圖象上．

③∵，開口向下，
∴當時，y隨x的增大而減�。�
分析：①根據∠ABC的正切值，可得到OA、OB的比例關系，用未知數表示出OA、OB的長，進而可在Rt△OAB中，利用勾股定理求出OA、OB的值，從而得到A、B的坐標；同理可在Rt△OAC中求出C點的坐標，進而可利用待定系數法求得該拋物線的解析式．
②根據A、B的坐標，易得D點的坐標，將其代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
③求二次函數的增減性，可從兩方面考慮：1、拋物線的開口方向，2、拋物線的對稱軸方程．
結合本題，將二次函數解析式化為頂點坐標式，即可得拋物線的對稱軸方程，由于此拋物線的開口向下，因此在對稱軸右側的函數圖象，y隨x的增大而減�。�
點評：此題主要考查了解直角三角形、二次函數解析式的確定、二次函數的增減性等知識，屬于基礎題，需要熟練掌握．