Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x²＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，點B的坐標為(3，0)，將直線y＝kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B，C兩點．

(1)求直線BC及拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD＝∠ACB，求點P的坐標；

(3)連結(jié)CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)沿軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過軸上的點， 　　． 　　設(shè)直線的解析式為． 　　在直線上， 　　． 　　解得． 　　直線的解析式為．　　1分 　　拋物線過點， 　　 　　解得 　　拋物線的解析式為．　　2分 　　(2)由． 　　可得． 　　，，，． 　　可得是等腰直角三角形． 　　，． 　　如圖1，設(shè)拋物線對稱軸與軸交于點， 　　． 　　過點作于點． 　　． 　　可得，． 　　在與中，，， 　　． 　　，． 　　解得． 　　點在拋物線的對稱軸上， 　　點的坐標為或．　　5分 　　(3)解法一： 　　如圖2，作點關(guān)于軸的對稱點，則． 　　連結(jié)， 　　可得，． 　　由勾股定理可得，． 　　又， 　　． 　　是等腰直角三角形，， 　　． 　　． 　　． 　　即與兩角和的度數(shù)為．　　7分 　　解法二： 　　如圖3，連結(jié)． 　　同解法一可得，． 　　在中，，， 　　． 　　在和中， 　　，，． 　　． 　　． 　　． 　　， 　　． 　　即與兩角和的度數(shù)為．　　7分 　　點評：本題設(shè)計得很精致，將幾何與函數(shù)完美的結(jié)合在一起，對學(xué)生綜合運用知識的能力要求較高，本題3問之間層層遞進，后兩問集中研究角度問題．中等層次的學(xué)生能夠做出第(1)問，中上層次的學(xué)生可能會作出第⑵問，但第⑵問中符合條件的點有兩個，此時學(xué)生易忽視其中某一個，成績較好的學(xué)生才可能作出第⑶問，本題是拉開不同層次學(xué)生分數(shù)的一道好題． 　　本題考點：函數(shù)圖形的平移、一次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理 　　難度系數(shù)：第(1)問：5.5；第(2)問：3.5；第(3)問：2.5