Question

【題目】如圖，等邊中，AB=6，點D在BC上，BD=4，點E為邊AC上一動點（不與點C重合），關于DE的軸對稱圖形為.

（1）當點F在AC上時，求證：DF//AB；

（2）設的面積為S1，的面積為S2，記S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當B，F，E三點共線時。求AE的長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在最大值，最大值為；（3）.

【解析】

（1）由折疊的性質和等邊三角形的性質可得∠DFC=∠A，可證DF∥AB；

（2）過點D作DM⊥AB交AB于點M，由題意可得點F在以D為圓心，DF為半徑的圓上，由△ACD的面積為S1的值是定值，則當點F在DM上時，S△ABF最小時，S最大；

（3）過點D作DG⊥EF于點G，過點E作EH⊥CD于點H，由勾股定理可求BG的長，通過證明△BGD∽△BHE，可求EC的長，即可求AE的長．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

由折疊可知：DF=DC，且點F在AC上，

∴∠DFC=∠C=60°，

∴∠DFC=∠A，

∴DF∥AB；

（2）存在，如圖，

過點D作DM⊥AB交AB于點M，

∵AB=BC=6，BD=4，∴CD=2，∴DF=2，

∴點F在以D為圓心，DF為半徑的圓上，

∴當點F在DM上時，S△ABF最小，

∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，

∴MD=2 ，

∴S△ABF的最小值= ，

∴S最大值=.

（3）如圖，過點作于點G，過點E作EH⊥CD于點H，

∵△CDE關于DE的軸對稱圖形為△FDE，

∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，

∵GD⊥EF，∠EFD=60°，

∴FG=1，DG=FG=，

∵BD2=BG2+DG2，

∴16=3+（BF+1）2，

∴BF=-1，

∴BG=，

∵EH⊥BC，∠C=60°，

∴CH=，EH=HC=,

∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，

∴△BGD∽△BHE，

∴，

∴,

∴EC=

∴AE=AC-EC=