Question

.如圖（1），直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x²+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P。

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C、P、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）連結(jié)AC，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，在拋物線上求一點(diǎn)E，使△CBE的面積有最大值。（圖（2）、圖（3）供畫圖探究）

Answer 1

解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3）， ∴解得 ∴拋物線解析式為y=x2-4x+3； （2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1， ∴對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（2，-1）， ∴滿足條件的點(diǎn)M分別為M1（2，7），M2（2，2-1），M3，M4（2，-2-1）； （3）由（1），得A（1，0），連接BP， ∵∠CBA=∠ABP=45°， ∴當(dāng)時(shí)，△ABC∽△PBQ， ∴BQ=3， ∴Q1（0，0）， ∴當(dāng)時(shí)，△ABC∽△QBP， ∴BQ=， ∴Q2； （4）當(dāng)0＜x＜3時(shí)， 在此拋物線上任取一點(diǎn)E連接CE、BE， 經(jīng)過點(diǎn)E作x軸的垂線FE，交直線BC于點(diǎn)F， 設(shè)點(diǎn)F（x，-x+3），點(diǎn)E（x，x2-4x+3）， ∴EF=-x2+3x， ∴S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF·OB=-x2+x=， ∵a=-＜0， ∴當(dāng)x=時(shí)，S△CBE有最大值， ∴y=x2-4x+3=-， ∴E。