Question

【題目】已知，如圖，在△ABC中，AB=AC=20cm，BD⊥AC于D，且BD=16cm．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；同時(shí)點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線PQ∥AC，交BC于點(diǎn)Q，連結(jié)PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0＜t＜5)，解答下列問(wèn)題：

（1）線段AD=___cm；

（2）求證：PB=PQ；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、D、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）AD=12cm；（2）證明見(jiàn)解析；（3）t=s或4s

【解析】

（1）由勾股定理求出AD即可；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論；

（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的上方時(shí)，根據(jù)題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AD-AM=12-4t，由PQ∥MD，當(dāng)PQ=MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，得出方程，解方程即可；

②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)，根據(jù)題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AM-AD=4t-12，由PQ∥MD，當(dāng)PQ=MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，得出方程，解方程即可．

（1）解：∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°，

∴AD=，

故答案為：12；

（2）證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，

∵PQ∥AC，

∴∠PQB=∠C，

∴∠PBQ=∠PQB，

∴PB=PQ；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的上方時(shí)，如圖所示

根據(jù)題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，

∴MD=AD-AM=12-4t，

∵PQ∥AC，

∴PQ∥MD，

當(dāng)PQ=MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，

∴t=12-4t，

解得：t=（s）；

②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)，如圖所示：

根據(jù)題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，

∴MD=AM-AD=4t-12，

∵PQ∥AC，

∴PQ∥MD，

當(dāng)PQ=MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，

∴t=4t-12，

解得：t=4（s）；

綜上所述，當(dāng)t=s或t=4s時(shí)，以P、Q、D、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

故答案為：s或4s．