Question

如圖，圓O是Rt△ABC的外接圓，點D是劣弧AC上異于A，C點的一點，連接AD并延長交BC的延長線于點E．
（1）求證：△BDE∽△ACE；
（2）若AB=BE=10，CE=3，則AD的長是多少？
（3）若CD∥AB，過點A作AF∥BC交CD的延長線于點F，則

CF

CD

-

BC

CE

=

1

．（請直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，求出∠ACB=∠ADB=90°，推出∠BDE=∠ACE，又因為∠CAE=∠DBE，即可推出△ACE和△BDE相似；
（2）根據(jù)勾股定理求出AC、AE，根據(jù)相似得出比例式，代入求出BD長，在△ABD中，根據(jù)勾股定理求出AD即可；
（3）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出

BC

CE

=

AD

DE

，

CF

CD

=

EA

DE

=

AD+DE

DE

=1+

AD

DE

，代入即可求出答案．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠BDE=180°-∠ADB=90°，
同理∠ACE=90°=∠BDE，
∵∠CAE=∠DBE（同弧CD所對的圓周角），
∴△BDE∽△ACE．

（2）解：在△ACB中，BC=10-3=7，AB=10，
由勾股定理得：AC=

AB2-CB2

=

51

，
同理由勾股定理求出AE=2

15

，
∵△BDE∽△ACE，
∴

AC

BD

=

AE

BE

，
∴

51

BD

=

2 15

10

，
∴BD=

85

，
在△ABD中，由勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=

102-( 85 )2

=

15

，
答：AD的長是

15

．

（3）解：結(jié)果是1，
理由是：∵CD∥AB，AF∥BC，
∴

BC

CE

=

AD

DE

，

CF

CD

=

EA

DE

，
∴

CF

CD

-

BC

CE

=

EA

DE

-

AD

DE

=

AD+DE

DE

-

AD

DE

=

AD

DE

+1-

AD

DE

=1．
故答案為：1．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，圓周角定理，平行線分線段成比例定理，三角形的外接圓與外心等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，通過做此題培養(yǎng)學(xué)生運用定理進行分析問題能力，同時也培養(yǎng)了學(xué)生運用定理進行推理的能力．