Question

【題目】如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E為AB上任意一動(dòng)點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，下列說(shuō)法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四邊形ABCD的面積有最大值，且最大值為 ．其中，正確的結(jié)論是（ ）
A.①②④
B.①③⑤
C.②③④
D.①④⑤

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△， ∴AB=AC= BC= ，CD=DE= CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正確；
②當(dāng)B、E重合時(shí)，A、D重合，此時(shí)DE⊥AC；
當(dāng)B、E不重合時(shí)，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，則∠AFE、∠DFC必為銳角；
故②不完全正確；
④∵ ，∴ ；
由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正確；
③由④知：∠DAC=45°，則∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD與△BEC不相似，故③錯(cuò)誤；
⑤△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；
△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），若△ACD的面積最大，則AD的長(zhǎng)最大；
由④的△BEC∽△ADC知：當(dāng)AD最長(zhǎng)時(shí)，BE也最長(zhǎng)；
故梯形ABCD面積最大時(shí)，E、A重合，此時(shí)EC=AC= ，AD=1；
故S梯形ABCD= （1+2）×1= ，故⑤正確；
因此本題正確的結(jié)論是①④⑤，故選D．
首先根據(jù)已知條件看能得到哪些等量條件，然后根據(jù)得出的條件來(lái)判斷各結(jié)論是否正確．