Question

在直角坐標系xoy中，已知點P是反比例函數(shù)圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點為A．

（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設(shè)切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由；

（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設(shè)交點為B，C．當四邊形ABCP是菱形時：

①求出點A，B，C的坐標．

②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面

積的．若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1）∵⊙P分別與兩坐標軸相切，

∴PA⊥OA，PK⊥OK． ∴∠PAO=∠OKP=90°．

又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．

∴四邊形OKPA是矩形．

又∵OA=OK，∴四邊形OKPA是正方形．

（2）①連接PB，設(shè)點P的橫坐標為x，則其縱坐標為．

過點P作PG⊥BC于G．

∵四邊形ABCP為菱形，∴BC=PA=PB=PC．

∴△PBC為等邊三角形．在Rt△PBG中，

∠PBG=60°，PB=PA=x， PG=．

sin∠PBG=，即．解之得：x=±2（負值舍去）． 

∴PG=，PA=BC=2．

易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2， BG=CG=1，

∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．

∴A（0，），B（1，0），C（3，0）．

設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c．

據(jù)題意得：

解之得：，，．

∴二次函數(shù)關(guān)系式為： ．

②解法一：設(shè)直線BP的解析式為：y=ux+v，據(jù)題意得：

解之得：u=，v．

∴直線BP的解析式為：．

過點A作直線AM∥PB，則可得直線AM的解析式為：

．

解方程組：

得：_； ．

過點C作直線CM∥PB，則可設(shè)直線CM的解析式為：

． 

∴0=．      ∴．

∴直線CM的解析式為：  ．

解方程組：得：；．

綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，分別為：（0，），

（7，），（3，0），（4，）．

解法二：∵， 

∴A（0，），C（3，0）顯然滿足條件．

延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，

PM=PA．

又∵AM∥BC，∴．

∴點M的縱坐標為．

又點M的橫坐標為AM=PA+PM=2+2=4．

∴點M（4，）符合要求．

點（7，）的求法同解法一．

綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，

分別為：（0，），（7，），（3，0），（4，）．