Question

如圖，點(diǎn)D，E分別是矩形OABC中AB和BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）
（1）寫(xiě)出A，C，E，D四點(diǎn)的坐標(biāo)；并判斷點(diǎn)O到直線(xiàn)DE的距離是否等于線(xiàn)段的OE長(zhǎng)；
（2）動(dòng)點(diǎn)F在線(xiàn)段DE上，F(xiàn)G⊥x軸于G，F(xiàn)H⊥y軸于H，求矩形面積最大時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)（利用圖1解答）；
（3）我們給出如下定義：分別過(guò)拋物向上的兩點(diǎn)（不在x軸上）作x軸的垂線(xiàn)，如果以這兩點(diǎn)及垂足為頂點(diǎn)的矩形在這條拋物線(xiàn)與x軸圍成的封閉圖形內(nèi)部，則稱(chēng)這個(gè)矩形是這條拋物線(xiàn)的內(nèi)接矩形，請(qǐng)你理解上述定義，解答下面的問(wèn)題：若矩形OABC是某個(gè)拋物線(xiàn)的周長(zhǎng)最大的內(nèi)接矩形，求這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式（利用圖2解答）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和B點(diǎn)的坐標(biāo)，易求出A、C、D、E的坐標(biāo)，易知：CE=BE=3，BD=2，很明顯△CDE和△BDE不相似，因此∠CED≠∠BDE，也就是說(shuō)∠CED+∠BED≠90°，OE與DE不垂直，因此O到ED的距離不等于OE的長(zhǎng)；
（2）矩形的面積實(shí)際上是F點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積，因此求出直線(xiàn)DE的解析式是解題的關(guān)鍵．可根據(jù)（1）得出的D、E的坐標(biāo)求出直線(xiàn)DE的解析式，進(jìn)而可根據(jù)矩形的面積公式得出矩形的面積S與F橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的F的坐標(biāo)；
（3）本題可先根據(jù)B、C的坐標(biāo)設(shè)出拋物線(xiàn)的解析式（使拋物線(xiàn)的待定系數(shù)只有二次項(xiàng)一個(gè)），假設(shè)矩形SPQR是拋物線(xiàn)的任意內(nèi)接矩形（R、S在拋物線(xiàn)上），可根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式設(shè)出R、S的坐標(biāo)，即可表示出RS和RP的長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形周長(zhǎng)的計(jì)算方法可得出關(guān)于矩形周長(zhǎng)和R、S其中一點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，題中給出了拋物線(xiàn)內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，x應(yīng)該為6，因此得出的函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸即為x=6，由此可確定拋物線(xiàn)的二次項(xiàng)系數(shù)的值．

解答：解：（1）A（6，0），D（6，2），E（3，4），C（0，4）
答：不等于
理由：連接OE，OD，ED．
∵OE²=25，ED²=13，OD²=40
∴OE²+ED²≠OD²
∴OE與DE不垂直，點(diǎn)O到直線(xiàn)ED的距離不是線(xiàn)段OE的長(zhǎng)．
（證明方法很多，①△ODE的面積為9，求出DE邊上的高h(yuǎn)=

18 13

13

與OE=5的長(zhǎng)比較；
②在直線(xiàn)DE與x，y軸圍成的三角形中，利用等積法，求點(diǎn)O到直線(xiàn)DE的距離

18 13

13

與OE比較；
③證明△ODE和△EBD不相似，則∠OED≠90°；
④延長(zhǎng)ED交x軸于P，在Rt△DAP中，tan∠EPO=2：3，而在△QEP中，OE：EP≠2：3，則∠OED≠90°．）

（2）解法一：
延長(zhǎng)ED交x軸于點(diǎn)H．由已知得△EBD≌△HAD．
∴AH=EB=3
∴HO=9設(shè)OG=m，則HG=9-m．
由△HAD∽△HGF可得

HA

HG

=

AD

GF

即

3

9-m

=

2

GF

∴GF=

2

3

（9-m）=-

2

3

m+6
S_矩形OGFH=OG•GF=m（-

2

3

m+6）=-

2

3

m²+6m（3≤m≤6）
當(dāng)m=-

b

2a

=-

6

2×(- 2 3 )

=

9

2

時(shí)，S_矩形OGFH最大
GF=-

2

3

×

9

2

+6=3
∴點(diǎn)F（

9

2

，3）．
解法二：設(shè)直線(xiàn)ED的解析式為y=kx+b，由圖象經(jīng)過(guò)E，D兩點(diǎn)可得：

2=6k+b 4=3k+b

．
解得

k=- 2 3 b=6

．
∴y=-

2

3

x+6
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（m，n），
由點(diǎn)F在線(xiàn)段ED上可得：n=-

2

3

m+6
∵FG⊥x軸于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥y軸于點(diǎn)H，
∴FG=n，F(xiàn)H=m
∴S_矩形OGFH=mn=m（-

2

3

m+6）=-

2

3

m²+6m（3≤m≤6）
當(dāng)m=-

b

2a

當(dāng)m=-

b

2a

=-

6

2×(- 2 3 )

=

9

2

時(shí)，S_矩形OGFH最大
GF=-

2

3

×

9

2

+6=3
∴點(diǎn)F（

9

2

，3）

（3）設(shè)這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）由內(nèi)接矩形的定義可知：
此拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸x=-

b

2a

=3，且c=4
∴這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²-6ax+4
如圖，設(shè)矩形SPQR是這個(gè)拋物線(xiàn)的任一內(nèi)接矩形，且點(diǎn)R（x，y）由對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)S（6-x，y）
∴RS=2x-6，RQ=y
又∵點(diǎn)R在這個(gè)拋物線(xiàn)上，
∴y=ax²-6ax+4
∴C_矩形SPQR=2（2x-6+y）
=2（2x-6+ax²-6ax+4）=2ax²+（-4-12a）x-4
已知可知當(dāng)x=6時(shí)，C_矩形SPQR取得最大值．
∴-4-12a=

2

3

a
∴a=-

1

3

因此，所求拋物線(xiàn)的解析式為y=-

1

3

x²+2x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．