Question

【題目】如圖1，已知正方形的邊長為1，點在邊上，若，且交正方形外角的平分線于點．

（1）如圖1，若點是邊的中點，是邊的中點，連接，求證：．

（2）如圖2，若點在線段上滑動（不與點，重合）.

①在點滑動過程中，是否一定成立？請說明理由；

②在如圖所示的直角坐標系中，當點滑動到某處時，點恰好落在直線上，求此時點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) AE=EF一定成立，理由見解析；②F點坐標為

【解析】

(1)利用ASA證明△AME≌△ECF，可得結(jié)論；

(2) ①在AB上截取AM=EC，連接ME，同（1）證明△AME≌△ECF，可得AE=EF；

②設(shè)F (a，-2a+6)，過F作FH⊥x軸于H，作FG⊥CD于G，則可用a表示出FG、FH，由角平分線的性質(zhì)得到關(guān)于a的方程，求得a的值，即可得出F的坐標.

(1)證明：∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∵M、E為中點，

∴AM=EC=BE=BM，

∴∠BME＝45°，

∵CF平分∠DCB，

∴∠AME=∠ECF=135°，

在△AME和△ECF中， ，

∴△AME≌△ECF (ASA) ，

∴AE=EF；

(2)解：①若點E在線段BC上滑動時AE=EF一定成立.

證明：如圖2中，在AB上截取AM=EC，連接ME，

∵AB=BC，

∴BM=BE，

∴△MBE是等腰直角三角形，

∴∠AME=180°-45°=135°，

又∵CF是角平分線，

∴∠ECF=90°+45°=135°，

∴∠AME=∠ECF，

∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

在△AME和△ECF中， ，

∴△AME≌△ECF (ASA) ，

∴AE=EF；

②設(shè)F (a，-2a+6)，過F作FH⊥x軸于H，作FG⊥CD于G，如圖3，

則FG=CH=a-1，FH=-2a+6，

∵CF為角平分線，

∴FH=FG，

∴a-1=-2a+6，

解得，

當時，，

∴F點坐標為.