Question

如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)為C(1，4)，交x軸于A、B兩點(diǎn)，

交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上師范存在一點(diǎn)H，使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最�。舸嬖�，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)如圖，在拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)T作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使△DNM∽△BMD．

若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)所求拋物線的解析式為：y＝a(x－1)2＋4，依題意，將點(diǎn)B(3，0)代入，得： 　　a(3－1)2＋4＝0 　　解得：a＝－1 　　∴所求拋物線的解析式為：y＝－(x－1)2＋4 　　(2)如圖，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)， 　　在x軸上取一點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF＝HI① 　　設(shè)過(guò)A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y＝kx＋b(k≠0)， 　　∵點(diǎn)E在拋物線上且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，將x＝2代入拋物線y＝－(x－1)2＋4，得y＝－(2－1)2＋4＝3 　　∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(2，3) 　　又∵拋物線y＝－(x－1)2＋4圖像分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B、D 　　∴當(dāng)y＝0時(shí)，－(x－1)2＋4＝0，∴ x＝－1或x＝3 　　當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－1＋4＝3， 　　∴點(diǎn)A(－1，0)，點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)D(0，3) 　　又∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：直線x＝1， 　　∴點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱(chēng)，GD＝GE② 　　分別將點(diǎn)A(－1，0)、點(diǎn)E(2，3)代入y＝kx＋b，得： 　　 　　解得： 　　過(guò)A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y＝x＋1 　　∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1 　　∴點(diǎn)F坐標(biāo)為(0，1) 　　∴③ 　　又∵點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)， 　　∴點(diǎn)I坐標(biāo)為(0，－1) 　　∴④ 　　又∵要使四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小，由于DF是一個(gè)定值， 　　∴只要使DG＋GH＋HI最小即可 　　由圖形的對(duì)稱(chēng)性和①、②、③，可知， 　　DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI 　　只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG＋GH＋HI最小 　　設(shè)過(guò)E(2，3)、I(0，－1)兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為：y＝k1x＋b1(k1≠0)， 　　分別將點(diǎn)E(2，3)、點(diǎn)I(0，－1)代入y＝k1x＋b1，得： 　　 　　解得： 　　過(guò)A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y＝2x－1 　　∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝； 　　∴點(diǎn)G坐標(biāo)為(1，1)，點(diǎn)H坐標(biāo)為(，0) 　　∴四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 　　由③和④，可知： 　　DF＋EI＝ 　　∴四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為． 　　(3)如圖，由題意可知，∠NMD＝∠MDB， 　　要使，△DNM∽△BMD，只要使即可， 　　即：MD2＝NM×BD⑤ 　　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a，0)，由MN∥BD，可得 　　△AMN∽△ABD， 　　∴ 　　再由(1)、(2)可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4 　　∴ 　　∵M(jìn)D2＝OD2＋OM2＝a2＋9， 　　∴⑤式可寫(xiě)成： a2＋9＝× 　　解得： 　　a＝或a＝3(不合題意，舍去) 　　∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，0) 　　又∵點(diǎn)T在拋物線y＝－(x－1)2＋4圖像上， 　　∴當(dāng)x＝時(shí)，y＝ 　　∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(，)