Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣x+c與直線y＝x+交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，直線y＝x+與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、C，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在直線y＝x+下方，求△PAC的最大面積；

（3）設(shè)M是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A、B、P、M為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（6，）或（﹣4，）或（2，﹣）．

【解析】

（1）由直線y＝x+與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、C，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，將x=4代入直線y＝x+中求出y值，即可得出點(diǎn)B坐標(biāo)，由點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)H，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，表示出H的坐標(biāo)，利用分割圖形法求面積找出S△PAC關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題；
（3）假設(shè)能，分線段AB為對(duì)角線和邊兩種情況來(lái)考慮，根據(jù)平移的性質(zhì)和中點(diǎn)公式求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）y＝x+，令y＝0，則x＝﹣1，故點(diǎn)A（﹣1，0），

∵B的橫坐標(biāo)是4，則點(diǎn)B（4，2），

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得： ，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣；

（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣x﹣），則點(diǎn)H（x，x+）

則△PAC面積S＝S△PHA﹣S△PHC＝PH（xC﹣xA）

＝×（x+﹣x2+x+）

＝﹣ x2+x+，

∵＜0，故S有最大值，

當(dāng)x＝時(shí)，S的最大值為：；

（3）能，理由：

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m，n），點(diǎn)M（1，s），而點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（4，2），

①當(dāng)AB是邊時(shí)，

點(diǎn)A向右平移5個(gè)單位、向上平移2個(gè)單位得到B，

同樣，點(diǎn)P（M）向右平移5個(gè)單位、向上平移2個(gè)單位得到M（P），

即1+5＝m或1﹣5＝m，

解得：m＝6或﹣4，則n＝，

故點(diǎn)P（6，）或（﹣4，）；

②當(dāng)AB是對(duì)角線時(shí)，

由中點(diǎn)公式得：m+1＝4﹣1，

解得：m＝2，故點(diǎn)P（2，﹣）；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（6，）或（﹣4，）或（2，﹣）．