Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．

（1）如圖，點(diǎn)D是拋物線在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|xD﹣xA|＝2，過點(diǎn)D作AC的平行線，分別與x軸、射線CB交于點(diǎn)F、E，點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上的一動點(diǎn)，連接PD交線段AC于點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形PQEF的面積最大時，在y軸上找一點(diǎn)M，x軸上找一點(diǎn)N，使得PM+MN﹣NB取得最小值，求這個最小值；

（2）如圖2，將△BOC沿著直線AC平移得到△B′O′C′，再將△B'O′C′沿B′C′翻折得到△B′O″C′，連接BC′、O″B，則△C′BO″能否構(gòu)成等腰三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)O″的坐標(biāo)，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P′W＝3；（2）點(diǎn)O″的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）或（，）．

【解析】

1）根據(jù)|xD﹣xA|＝2，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)換四邊形PQEF的面積最大即為線段PH最大，PM+MN﹣NB取得最小值，將這三條線段轉(zhuǎn)化為共線即可．

（2）設(shè)點(diǎn)O′、B′、C′的坐標(biāo)，求出點(diǎn)O″的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式表示線段長度，分三種情況討論即可．

（1）令＝0，

解得x1＝，x2＝﹣4，

∴A（﹣4，0），B（，0），

令x＝0，y＝﹣2，

∴C（0，﹣2），

∵|xD﹣xA|＝2，點(diǎn)D是拋物線在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，

∴D的橫坐標(biāo)為﹣6，

∴D（﹣6，7），

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，

則有

解得

∴直線BC的解析式為y＝2x﹣2，

設(shè)直線AC的解析式為y＝k1x+b1，

則有

解得

∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣2，

∵DE∥AC，

∴設(shè)直線DE的解析式為y＝﹣x+b2，代入點(diǎn)D（﹣6，7），

解得b2＝4，

∴直線DE的解析式為y＝﹣x+4，

令y＝0，此時x＝8，

∴F（8，0），

令2x﹣2＝﹣x+4，

解得x＝，

∴E（，），

∵S四邊形PQEF＝S△PDF﹣S△PQE＝S△PDF﹣S△DAE，

∵D、A、E是固定點(diǎn)，

∴S△DAE是固定值，即要使四邊形PQEF的面積最大，只需△PDF的面積最大，

如圖1所示，

過點(diǎn)P作x軸的垂線交DF于點(diǎn)H，則S△PDF＝PH|xF﹣xD|＝7PH，

∴當(dāng)PH最大時，S△PDF最大，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2+a﹣2），則點(diǎn)H為（a，﹣ a+4），

∴PH＝﹣a2﹣2a+6＝﹣（a+2）2+8，

∴當(dāng)a＝﹣2時，PH最大，

此時P（﹣2，﹣3），

作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P′（2，﹣3），

過點(diǎn)B作直線l：y＝x﹣，

過點(diǎn)P′作直線l的垂線交l于點(diǎn)W，交y軸于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，

∴NB＝NW，

∴PM+MN﹣NB＝PM+MN﹣NW＝P′N﹣NW＝P′W，

∴P′W即為所求，

過P′作y軸的平行線交l于點(diǎn)J，

則J（2，），

則JP′＝，

則P′W＝JP′＝3．

（2）設(shè)△BOC在水平方向上移動了2t個單位，則在豎直方向上移動了t個單位，

則C′（﹣2t，﹣2t+t），O′（﹣2t， t），

如圖2所示，過O″作y軸的平行線交O′B′的延長線于點(diǎn)M，

O′O″＝2×× ＝，

∴O″M＝，O′M＝，

∴O″（﹣2t，﹣ +t），

∴C′B＝＝，

C′O″＝2，

O″B＝＝

①＝2，無解．

②＝，解得t＝-1，

∴O″（﹣，），

③＝2，解得t1＝，t2＝，

∴O″（，）或（，）．

綜上所述：點(diǎn)O″的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）或（，）．