Question

如圖在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（-4，0），B（0，-4），點P（-6，0）在x軸上，點Q為平面內一點（不與A，C重合），且△ACQ是以AC為斜邊的直角三角形，連接PQ，設直線PQ與x軸所夾的銳角為α．
（1）求拋物線的函數關系式；
（2）當a＜0時，點P（a，y₁），Q（a-1，y₂）在拋物線上，比較y₁，y₂大��；
（3）當α最大時，求點Q的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線經過A（-4，0），B（0，-4），
∴，
解得，
∴拋物線的函數關系式為y=x²+x-4；

（2）∵點P（a，y₁），Q（a-1，y₂）都在該拋物線上，
∴y₁-y₂=（a²+a-4）-[（a-1）²+（a-1）-4]=a+．
當a+＞0，即-＜a＜0時，y₁＞y₂，
當a+=0，即a=-時，y₁=y₂，
當a+＜0，即a＜-時，y₁＜y₂；

（3）如圖．
∵△ACQ是以AC為斜邊的直角三角形，
∴點Q在以AC為直徑的圓上．
設AC的中點為D，則⊙D的直徑為AC．
∵拋物線y=x²+x-4與x軸交于點A、C，且A（-4，0），
解方程x²+x-4=0，得x=-4或2，
∴C（2，0），
∴AC=6，⊙D的半徑為3，點D的坐標為（-1，0）．
連接DQ，當α最大時，PQ為⊙D的切線，∠PQD=90°，DQ=3．
在△PQD中，∵∠PQD=90°，DQ=3，PD=-1-（-6）=5，
∴PQ==4．
過點Q作QE⊥x軸于點E．
∵sin∠QPE==，cos∠QPE==，
∴QE===，PE==，
∴OE=OP-PE=6-=．
當點Q在第二象限時，Q（-，）；
當點Q在第三象限時，Q（-，-）．
綜上可知，當α最大時，點Q的坐標為（-，）或（-，-）．
分析：（1）將A（-4，0），B（0，-4）代入拋物線的解析式，運用待定系數法即可求解；
（2）先將P，Q的坐標代入（1）的拋物線解析式中，可得出y₁、y₂的表達式，計算y₁-y₂，然后看得出的結果中在x的不同取值范圍下，y₁、y₂的大小關系；
（3）先由△ACQ是以AC為斜邊的直角三角形，得出點Q在以AC為直徑的圓D上；再解方程x²+x-4=0，得到C點的坐標為（2，0），則⊙D的半徑為3，點D的坐標為（-1，0）；再連接DQ，當α最大時，得到PQ為⊙D的切線，由切線的性質得到∠PQD=90°，根據勾股定理求出PQ=4；過點Q作QE⊥x軸于點E，然后根據銳角三角函數的定義分別求出QE=，PE=，進而得到點Q的坐標，注意點Q可以在第二象限，也可以在第三象限．
點評：本題主要考查了運用待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質，圓周角定理，勾股定理，切線的性質，銳角三角函數的定義，綜合性較強，有一定難度．運用差比法比較兩個代數式的大小是一種常用的方法；（3）中根據圓周角定理得出點Q在以AC為直徑的圓D上及根據切線的性質得出當α最大時，PQ為⊙D的切線是解題的關鍵．