Question

如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=

k

x

（k＞0，x＞0）上一動點(diǎn)，AD⊥y軸于D，延長AD交雙曲線y=-

4

x

（x＜0）于點(diǎn)B，BC∥y軸交x軸于E，交AO的延長線于點(diǎn)C，則下列說法正確的個數(shù)是（　�。�
①當(dāng)k=1時，四邊形AOEB的面積是4.5；
②當(dāng)△EOC的面積是4時，k=2；
③當(dāng)k一定時，BD：AD的值一定；
④當(dāng)點(diǎn)A離原點(diǎn)O最近時，且AO=

1

2

OC，則OB=2．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：①根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，求出△AOD的面積與四邊形BEOD的面積，兩者相加就是四邊形AOEB的面積；
②求出當(dāng)k=2時的△EOC的面積，如果△EOC的面積等于4，則說明本題正確，否則錯誤；
③當(dāng)k一定時，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），然后表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可得到BD與AD的長度，兩者相比即可判斷；
④點(diǎn)A離原點(diǎn)O最近時，也就是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的時候，根據(jù)AO=

1

2

OC，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AD=

1

2

BD，從而得到k=2，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而也可以求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用勾股定理即可求出OB的長度．

解答：解：①當(dāng)k=1時，S_△AOD=

1

2

×AD•OD=

1

2

×1=0.5，
∵點(diǎn)B在雙曲線y=-

4

x

（x＜0）上，
∴S_{四邊形BEOD}=BE•OE=4，
∴S_{四邊形AOEB}=S_△AOD+S_{四邊形BEOD}=0.5+4=4.5，
故本小題正確；
②當(dāng)k=2時，S_△AOD=

1

2

×AD•OD=

1

2

×2=1，
∵兩雙曲線分別為y=

2

x

，y=-

4

x

，
∴AD：BD=2：4=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S_△AOD：S_△ABC=（1：3）²=1：9，
∵S_△EOC=S_△ABC-S_{四邊形BEOD}-S_△AOD=1×9-4-1=4，
∴△EOC的面積是4時，k=2，
故本小題正確；
③設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則b=

k

a

，
∴a=

k

b

，-

4

x

=b，
解得x=-

4

b

，
∴BD=|x|=

4

b

，AD=a=

k

b

，
∴BD：AD=

4

b

：

k

b

=4：k，
∵k一定時，
∴BD：AD的值一定；
故本小題正確；
④∵OD∥BC，AO=

1

2

OC，
∴AD=

1

2

BD，
∴k：|-4|=

1

2

，
解得k=2，
點(diǎn)A離原點(diǎn)O最近時，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，
∴設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，a），則

2

a

=a，
解得a=

2

，
∴

2

=-

4

x

，
解得x=-2

2

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（-2

2

，

2

），
∴OB=

(-2 2 )2+ 2 2

=

10

≠2．
故本小題錯誤．
所以說法正確的有①②③共3個．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，平行線成比例定理，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，難度較大，需要仔細(xì)分析，細(xì)心求解方可完成，對提高同學(xué)們的分析問題、解決問題的能力大有幫助．