Question

已知：如圖，斜坡PQ的坡度i=1：，在坡面上點O處有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，頂端A處有一旋轉(zhuǎn)式噴頭向外噴水，水流在各個方向沿相同的拋物線落下，水流最高點M比點A高出1m，且在點A測得點M的仰角為30°，以O(shè)點為原點，OA所在直線為y軸，過O點垂直于OA的直線為x軸建立直角坐標系．設(shè)水噴到斜坡上的最低點為B，最高點為C．
（1）寫出A點的坐標及直線PQ的解析式；
（2）求此拋物線AMC的解析式；
（3）求|x_C-x_B|；
（4）求B點與C點間的距離．

Answer 1

解：（1）過點C作CD⊥x軸一點D，
∵在坡面上點O處有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，
∴A點的坐標為：A（0，1），
∵斜坡PQ的坡度i=1：，
∴設(shè)C點橫坐標為x，則縱坐標為：x，
∴直線PQ的解析式為：；

（2）過點M作MN⊥x軸于點N，作AF⊥MN于點F，連接AM，
∵水流最高點M比點A高出1m，且在點A測得點M的仰角為30°，
∴MF=1，MN=2，AM=2，則AF=，
∴M點坐標為：（，2），代入y=a（x-） ²+2，
再將（0，1）代入上式得：
1=a（0-） ²+2，
解得：a=-，
此拋物線AMC的解析式為：y=-（x-） ²+2=-x ²+x+1；

（3）將直線PQ的解析式：，以及拋物線AMC的解析式：y=-（x-） ²+2=-x ²+x+1聯(lián)立：
x=-x ²+x+1，
整理得出：x ²-x-3=0，
解得：x₁=，x₂=，
故C點橫坐標為：，B點橫坐標為：，
∴|x_C-x_B|=-=（m）；

（4）過點B作BH⊥CD于點H，
∵斜坡PQ的坡度i=1：，
∴tan∠CBH==，
∴∠CBH=30°，
∵|x_C-x_B|=BH=，
∴BC===2（m）．
分析：（1）利用AO長度得出A點坐標即可，再利用斜坡PQ的坡度i=1：，求出直線PQ的解析式；
（2）首先根據(jù)已知得出M點坐標，進而利用頂點式求出二次函數(shù)解析式即可；
（3）將直線PQ的解析式：，以及拋物線AMC的解析式：y=-（x-） ²+2=-x ²+x+1聯(lián)立，求出B，C點的橫坐標進而得出|x_C-x_B|的值；
（4）構(gòu)造直角三角形，利用BC=求出即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及坡度問題和解直角三角形的應(yīng)用等知識，正確構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．