Question

如圖所示，BF是半圓O的直徑，△ABC內(nèi)接于圓，過A點作AE⊥BF于E交BC于D．求證：=BD·BC．

Answer 1

答案：略
解析：

證法一：連接AF． ∵∠BAF=90°，∵AE⊥BF，∴∠BAE=∠F．∵∠C=∠F． ∴∠BAD=∠C．∵∠ABD是公用角，∴△BAD∽△BCA． ∴AB∶BD=BC∶AB．∴=BD·BC． 證法二：連接AF、CF． ∵BF是直徑，∴∠BAF=90°，∠BCF=90°． ∵AE⊥BF，∴∠BED=90°．∵∠DBE公用，∴△BDE∽△BFC．∴BD·BF=BE·BF． ∵∠BAF=90°，∠AEB=90°，∴=BE·BF． ∴=BD·BC．

提示：

所證的結(jié)論中，AB是△ABC的一邊，而BD是因為AE⊥BF與BC相交得到的．這時若能證明△BAD△BCA，則結(jié)論就成立．從圖中可觀察到∠ABD是公共角，故需要證明∠BAD=∠C或∠BDA=∠BAC即可．這其中∠C是圓周角，而∠BAD不是，若能把它化為圓周角，則可證明結(jié)論成立．因∠BAD是直角三角形，所以需要找一個既在直角三角形中又是圓周角的角，考慮到BF是直徑，若連接AF，則我們考慮的兩點都可以實現(xiàn)．