Question

（本題滿分9分）已知：如圖1，△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15．將線段AB沿過(guò)點(diǎn)A的直線翻折，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在BC邊上，折痕與BC邊相交于點(diǎn)D，如圖2所示．

（1）求線段DE的長(zhǎng)；

（2）在圖2中，若點(diǎn)P為線段AC上一點(diǎn)，且△AEP為等腰三角形，求AP的長(zhǎng)．

小李在解決第（2）小題時(shí)的過(guò)程如下：

① 當(dāng)EA＝EP時(shí)，顯然不存在；當(dāng)AE＝AP時(shí)，則AP＝__________；（需填空）

② 對(duì)于“當(dāng)PA＝PE時(shí)的情形”，小李在解決時(shí)遇到了困難．小明老師對(duì)小李說(shuō)：對(duì)于這個(gè)“直線形”圖形直接解決困難時(shí)，我們可以建立平面直角坐標(biāo)系，用一次函數(shù)的知識(shí)解決．如以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，然后求出AE中垂線的直線解析式，然后求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后用勾股定理求出AP的長(zhǎng)……

請(qǐng)根據(jù)小明老師的提示完成第（2）題中②的求解，你也可以用自己的方法求出AP的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）5；（2）①13；②．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)BD=x，則DE=x，CD=14-x，由，即可解出x的值，從而得到DE；

（2）①AP=AE=AB=13；

②以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由（1）得AD=12，CD=9，DE=BD=5，得到E(5，0)，C(9，0)，A(0，12)．設(shè)直線AE為，把E(5，0)， A(0，12)代入，求出直線AE的解析式為；同樣可求直線AC的解析式為，再求線段AE的中點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)，由于直線PM垂直平分線段AE，故可設(shè)直線PM為：，把M(2.5，6)代入即可求出直線PM為，因?yàn)镻為直線PM和直線AC的交點(diǎn)，聯(lián)立解方程組可得P（，），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可算出AP的長(zhǎng)．

試題解析：（1）設(shè)BD=x，則DE=x，CD=14-x，∴，即：，解得：，∴DE=5；

（2）①AP=AE=AB=13；

②以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由（1）得AD=12，CD=9，DE=BD=5，∴E(5，0)，C(9，0)，A(0，12)．設(shè)直線AE為，把E(5，0)， A(0，12)代入得：，解得：，∴直線AE為：；同樣可求直線AC的解析式為：，設(shè)線段AE的中點(diǎn)M（x，y），則，，∴M(2.5，6)，∵直線PM垂直平分線段AE，∴設(shè)直線PM為：，把M(2.5，6)代入得：，解得：，∴直線PM為：，P為直線PM和直線AC的交點(diǎn)，∴，解得：，∴P（，），∴AP==．

考點(diǎn)：1．一次函數(shù)的綜合運(yùn)用；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理．