Question

【題目】如圖，已知矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，且AB＝4．P為OC上一點(diǎn)，將△BCP沿PB折疊，點(diǎn)C落在第三象限內(nèi)點(diǎn)Q處，BQ與x軸的交點(diǎn)M恰好為OA的中點(diǎn)，且MQ＝1．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求折痕PB所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】(1) A(－6，0);(2) y＝－x＋1.

【解析】

（1）由M為OA的中點(diǎn)，可設(shè)AM=OM=x．根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BC=AO=2x．由折疊的性質(zhì)得出BQ=BC=2x，那么BM=2x-1．在Rt△ABM中根據(jù)勾股定理列出方程x2+42=（2x-1）2，解方程求出x，進(jìn)而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)PQ與OA相交于點(diǎn)N．由△MQN∽△MAB，求出MN=，QN=，那么ON=．由△MQN∽△PON，求出OP=1，得到P（0，1）．設(shè)折痕PB所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，將B、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求出折痕PB所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

解：（1）∵M為OA的中點(diǎn)，
∴可設(shè)AM=OM=x．
∵四邊形OABC是矩形，
∴BC=AO=2x．
由△BCP沿PB折疊，得BQ=BC=2x，則BM=BQ-MQ=2x-1．
在Rt△ABM中，由勾股定理得x2+42=（2x-1）2，
解得x=3，
∴A（-6，0）；
（2）如圖，設(shè)PQ與OA相交于點(diǎn)N．

在△MQN與△MAB中， ，
∴△MQN∽△MAB，
∴ ，即 ，
∴MN=

，QN=．
∴ON=OM-MN=3-=．
在△MQN與△PON中，

，
∴△MQN∽△PON，
∴ ，即，
∴OP=1，∴P（0，1）．
設(shè)折痕PB所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，
∵B（-6，4）、P（0，1），
∴-6k+b=4,b=1，解得k=- ,b=1，
∴折痕PB所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y= -x+1．