Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)c為常數(shù)的圖象經過點，點，頂點為點M，過點A作軸，交y軸于點D，交該二次函數(shù)圖象于點B，連結BC．

求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標．

過該二次函數(shù)圖象上一點P作y軸的平行線，交一邊于點Q，是否存在點P，使得以點P、Q、C、O為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

點N是射線CA上的動點，若點M、C、N所構成的三角形與相似，請直接寫出所有點N的坐標直接寫出結果，不必寫解答過程．

Answer 1

【答案】二次函數(shù)解析式為，點M的坐標為； 存在平行四邊形，； ，，，．

【解析】

將點A、點C的坐標代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點M的坐標；

根據平行四邊形的判定對邊平行且相等，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案；

由題意分析可得，則若與相似，則要進行分類討論，分成∽或∽兩種，然后利用邊的對應比值求出N點坐標的橫坐標，再利用自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案．

把點，點代入二次函數(shù)得，

解得

二次函數(shù)解析式為，

配方得，

點M的坐標為；

由知，當時，

，

解之，或

、

令P點橫坐標為m，

當PQ與BC邊相交時，

，

此時不存在平行四邊形．

當PQ與AC邊相交時，

由、可得直線AC解析式

，

，

，

令

，

，

，

此方程無解，

此時不存在平行四邊形．

當PQ與AB邊相交時，

、

，

令

，

化簡，得，

解得，

當時，，

點坐標為，

此時，存在平行四邊形，；

連接MC，作軸并延長交AC于點N，則點G坐標為

，

，

，

把代入解得，則點P坐標為，

，，

，

，

由此可知，若點N在AC上，則，則點D與點C必為相似三角形對應點

若有∽，則有，

，，

，

，

，

若點N在y軸右側，作軸，

，

，

把代入，解得，

；

同理可得，若點N在y軸左側，

把代入，解得

；

若有∽，則有

，

，

若點N在y軸右側，把代入，解得；

若點N在y軸左側，把代入，解得

；．

所有符合題意得點N坐標有4個，分別為，，，．