Question

(1)用1×1，2×2，3×3三種型號的正方形地板磚鋪設(shè)23×23的正方形地面，請你設(shè)計一種鋪設(shè)方案，使得1×1的地板磚只用一塊．

(2)請你摸索說明：只用2×2，3×3兩種型號的地板磚，無論如何鋪設(shè)都不能鋪滿23×23的正方形地面而不留空隙．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)如圖(1)，用12塊3×3地板磚與6塊2×2地板磚能鋪成12×11的長方形地面，如圖(2)的鋪設(shè)方案．用4個12×11的圖所示的板塊，恰用1×1的地板磚，可以鋪滿23×23的正方形地面． (2)說明：我們將23×23的大正方形分成23行23列共529個1×1的小方格，再將第1行，第4行，第7行，第10行，第13行，第16行，第19行，第22行這八行染成黑色，其余的15行都為白色，如圖Ⅰ－3－10所示． 任意2×2或3×3的小正方塊無論怎樣放置(邊線與大正方形格線重合)，每塊2×2或3×3的正方塊都將蓋住偶數(shù)塊1×1的白色小方格． 假設(shè)用2×2及3×3的正方形地板磚可以鋪滿23×23的正方形地面，則它們蓋住的白色1×1的小方格總數(shù)為偶數(shù)個．然而23×23地面染色后共有23×15(奇數(shù))個1×1的白色小方格，矛盾．所以，只用2×2，3×3兩種型號地板磚無論如何鋪設(shè)，都不能鋪滿23×23的正方形地面而不留空隙．