Question

在菱形ABCD中，∠BAD=θ，△AEF為正三角形，E、F在菱形邊上．請你操作，探索：當(dāng)θ分別滿足下列條件時(shí)，能否作出菱形的內(nèi)接正三角形AEF（E、F分別在菱形邊上）？請?zhí)顚懴卤恚�（表下方的菱形供探索用�?br />

滿足的條件	0°＜θ＜60°	θ=60°	60°＜θ＜120°	θ=120°	120°＜θ＜180°
內(nèi)接正△AEF個(gè)數(shù)	0個(gè)

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Answer 1

【答案】分析：①θ=60°，由于E、F在菱形的邊上，那么在線段AB、AD上，只要EF∥BD，那么所有的E、F點(diǎn)都符合要求，因此這種情況下有無數(shù)個(gè)符合條件的正三角形．
②60°＜θ＜120°時(shí)，若△AEF是正三角形，那么E、F必須在BC、CD上，且關(guān)于AC對稱，因此滿足條件的正三角形只有一個(gè)．
③θ=120°時(shí)，那么E、F必在線段BC、CD上，連接AC，只要符合△AEC≌△AFB，那么E、F就符合要求，因此符合這樣條件的E、F點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故符合條件的正三角形也由無數(shù)個(gè)．
④當(dāng)120°＜θ＜180°時(shí)，那么有三種情況：
一、E在AB上，F(xiàn)在BC上，由于∠BAC＞60°，因此這種情況下存在一個(gè)符合條件的正三角形；
二、E、F分別在BC、CD上，同②可知這種情況下只有一種符合條件的正三角形；
三、E在CD上，F(xiàn)在AD上，情況同一．
因此當(dāng)120°＜θ＜180°時(shí)，共有3個(gè)符合條件的正三角形．
解答：解：填表如下：

滿足的條件	0°＜θ＜60°	θ=60°	60°＜θ＜120°	θ=120°	120°＜θ＜180°
內(nèi)接正△AEF個(gè)數(shù)	0個(gè)	無數(shù)個(gè)	1個(gè)	無數(shù)個(gè)	3個(gè)

如圖：

點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，難度適中．