Question

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是射線CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），直線AE交直線BC于點(diǎn)G，∠BAE的平分線交射線BC于點(diǎn)O．
（1）如圖，當(dāng)CE=時(shí)，求線段BG的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)，設(shè)，BO=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)CE=2ED時(shí)，求線段BO的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，CE=，得DE=CD-CE=2-=，
又∵AD∥BC，即AD∥CG，
∴，
得CG=1．
∵BC=2，
∴BG=3；

（2）當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AG，垂足為點(diǎn)F．
∵AO為∠BAE的角平分線，∠ABO=90°，
∴OF=BO=y．
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴．
∵AD=2，
∴CG=2x．
又∵，CE+ED=2，
∴得CE=．
∵在Rt△ABG中，AB=2，BG=2+2x，∠B=90°，
∴AG=2．
∵AF=AB=2，
∴FG=AG-AF=2．
∵，
即，
得．（x≥0）；

（3）當(dāng)CE=2ED時(shí)，

①當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)如圖（1），即x=2，由（2）得；
②當(dāng)點(diǎn)O在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），CE=2DE=4，ED=2，在Rt△ADE中，AE=2．
設(shè)AO交線段DC于點(diǎn)H，
∵AO是∠BAE的平分線，
∴∠BAH=∠HAE，
又∵AB∥CD，
∴∠BAH=∠AHE．
∴∠HAE=∠AHE．
∴EH=AE=2．
∴CH=4-2，
∵AB∥CD，
∴，
∴，得BO=2+2．
分析：（1）根據(jù)AD∥BC，我們可以得出關(guān)于AD、DE、CE、CG的比例關(guān)系式，已知了CD、AD、CD的值，那么就能求出DE的值，也就能求出CG的長(zhǎng)了，有了CG的長(zhǎng)，已知了BC的長(zhǎng)，那么就有了BG的長(zhǎng)．
（2）根據(jù)CE、DE的比例關(guān)系和CD的長(zhǎng)，我們不難表示出CE的長(zhǎng)，按（1）的方法我們可以得出CG的表達(dá)式，有了CG的長(zhǎng)，那么就能表示出BG的長(zhǎng)，在直角三角形ABG中，就能表示出AG的長(zhǎng)，如果我們過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AG，垂足為點(diǎn)F，構(gòu)建一個(gè)和三角形ABG相似的三角形OFG（有一個(gè)公共角，有一組直角），我們可得出關(guān)于AB、AG、OF、OG的比例關(guān)系式．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，我們可得出OF=OB=y，OG=BG-BO也不難表示出來(lái)，因此根據(jù)關(guān)于AB、AG、OF、OG的比例關(guān)系式可得出一個(gè)含x、y的函數(shù)關(guān)系式．
（3）分兩種情況，第一，O在線段BC上，這種情況同（2）可根據(jù)（2）的結(jié)果來(lái)得出OB的值．
第二種情況，O在BC的延長(zhǎng)線上，由AB∥DC我們可得出∠BAH=∠HAE=∠AHE，因此EH=AH，那么就有了EH的值，也就求出了CH的值，由AB∥DC，我們可得到一個(gè)關(guān)于AB、CH、CO、BO的比例關(guān)系式，因?yàn)镃O=BO-2，又求出了CH的值，已知了AB的值，因此可求出BO．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，本題中根據(jù)平行線得出線段的比例關(guān)系，然后用已知的線段或間接求出的線段來(lái)求出未知的線段是解題的思路．