Question

【題目】拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（5，5），其頂點(diǎn)為C點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出C點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）將直線沿y軸向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度交拋物線于A、B兩點(diǎn)．若∠ACB=90°，求b的值．

（3）是否存在點(diǎn)D（1，a），使拋物線上任意一點(diǎn)P到x軸的距離等于P點(diǎn)到點(diǎn)D的距離？若存在，請(qǐng)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=，頂點(diǎn)（1，1）（2）（3）（1，2）

【解析】

（1）將點(diǎn)E坐標(biāo)代入解析式，求出系數(shù)a，獲得解析式，并求出頂點(diǎn)C坐標(biāo)；

（2）平移直線y=，獲得平移后的解析式y=，直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），因?yàn)?/span>∠ACB=90°，利用A、B、C三點(diǎn)構(gòu)造相似，得到，將直線與拋物線聯(lián)立獲得方程，根據(jù)韋達(dá)定理，獲得x1+x2，x1x2，從而獲得關(guān)于b的方程，求出b值；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，設(shè)點(diǎn)P（m，）因?yàn)?/span>PQ=PD，所以PQ2=PD2，整理可得，所以當(dāng)a=2時(shí)，存在點(diǎn)D（1，2）．

（1）將點(diǎn)E（5，5）代入y=ax2-+

5=25a-+

a=

∴y=，頂點(diǎn)（1，1）

（2）直線y=平移后獲得解析式y=

交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）

y1=，y2=

聯(lián)立

x2-4x+5-4b=0

∴x1+x2=4，x1x2=5-4b

如圖，過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線與過(guò)點(diǎn)C平行于x軸的線交于點(diǎn)E，F

可證△ACE∽△BCF

∴=

∴（x1+x2）-（x1x2）-1=y1y2-（y1+y2）+1

∴b2-5b+=0，

解，b1=，b2=（舍）

∴b=．

（3）設(shè)P（m，n），作PQ⊥x軸于Q

若PQ=PD，則PQ2=PD2

（m-1）2+（n-a）2=n2

整理得

m2-2m+1+a2-2an=0

將n=代入

整理得

當(dāng)a=2時(shí)，方程成立

∴D（1，2）