Question

如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長(zhǎng)為10 cm，雨刮桿AB長(zhǎng)為48 cm，∠OAB＝120°．若啟動(dòng)一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示．

(1)求雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度及O、B兩點(diǎn)之間的距離；(結(jié)果精確到0.01)

(2)求雨刮桿AB掃過(guò)的最大面積．(結(jié)果保留π的整數(shù)倍)

(參考數(shù)據(jù)：sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，≈26.851，可使用科學(xué)計(jì)算器)

Answer 1

答案：
解析：

[答案]解：(1)雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180°． 　　連接OB，過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線交BA的延長(zhǎng)線于EH， 　　∵∠OAB＝120°， 　　∴∠OAE＝60° 　　在Rt△OAE中， 　　∵∠OAE＝60°，OA＝10， 　　∴sin∠OAE＝＝， 　　∴OE＝5， 　　∴AE＝5． 　　∴EB＝AE＋AB＝53， 　　在Rt△OEB中， 　　∵OE＝5，EB＝53， 　　∴OB＝＝＝2≈53.70； 　　(2)∵雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)180°得到CD，即△OCD與△OAB關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱， 　　∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO＝S△OCD， 　　　∴雨刮桿AB掃過(guò)的最大面積S＝π(OB2－OA2) ＝1392π． 　　[考點(diǎn)解剖]本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，以及扇形面積的求法，難點(diǎn)是考生缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，弄不懂題意(提供的實(shí)物圖也不夠清晰，人為造成一定的理解困難)． 　　[解題思路]將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，(1)AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180°；在△OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過(guò)它不是直角三角形，需要轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)求解，由∠OAB＝120°想到作AB邊上的高，得到一個(gè)含60°角的Rt△OAE和一個(gè)非特殊角的Rt△OEB．在Rt△OAE中，已知∠OAE＝60°，斜邊OA＝10，可求出OE、AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求得Rt△OEB中EB的長(zhǎng)，再由勾股定理求出斜邊OB的長(zhǎng)；(2)雨刮桿AB掃過(guò)的最大面積就是一個(gè)半圓環(huán)的面積(以OB、OA為半徑的半圓面積之差)． 　　[解答過(guò)程]略． 　　[方法規(guī)律]將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形求解．在直角三角形中，已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量． 　　[關(guān)鍵詞]刮雨器　三角函數(shù)　解直角三角形　中心對(duì)稱　扇形的面積