Question

如圖，正方形ABCD的邊長為，E，F分別是AB，BC的中點，AF與DE，DB分別交于點M，N，則△DMN的面積是________．

Answer 1

8
分析：首先連接DF，由四邊形ABCD是正方形，可得△BFN∽△DAN，又由E，F分別是AB，BC的中點，可得===2，△ADE≌△BAF（SAS），然后根據相似三角形的性質與勾股定理，可求得AN，MN的長，即可得MN：AF的值，再利用同高三角形的面積關系，求得△DMN的面積．
解答：解：連接DF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=2，
∴△BFN∽△DAN，
∴==，
∵F是BC的中點，
∴BF=BC=AD=，
∴AN=2NF，
∴AN=AF，
在Rt△ABF中，AF==5，
∴cos∠BAF===，
∵E，F分別是AB，BC的中點，AD=AB=BC，
∴AE=BF=，
∵∠DAE=∠ABF=90°，
在△ADE與△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠AED=∠AFB，
∴∠AME=180°-∠BAF-∠AED=180°-∠BAF-∠AFB=90°．
∴AM=AE•cos∠BAF=×=2，
∴MN=AN-AM=AF-AM=×5-2=，
∴．
又∵S_△AFD=AD•CD=×2×2=30，
∴S_△MND=S_△AFD=×30=8．
故答案為：8．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的性質，勾股定理以及三角形面積的求解方法等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質，掌握三角形面積的求解方法，注意輔助線的作法．