Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E．又點F在DE的延長線上，且AF=CE．
（1）求證：點E是AB的中點；
（2）求證：四邊形ACEF是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）由線段垂直平分線和已知條件得出DE是△ABC的中位線，即可得出結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出證出AF∥CE，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，DE是BC的中垂線，
∴DE⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥AC，
又∵D為BC中點，DF∥AC，
∴DE是△ABC的中位線，
∴E為AB邊的中點；
（2）證明：∵E為AB邊的中點，
∴CE=AE=BE，
∵AF=CE，
∴CE=AE=AF，
∴∠ECA=∠EAC，∠AEF=∠F，
∵DE∥AC，
∴∠EAC=∠AEF，∠FEC+∠ECA=180°，
∴∠ECA=∠F，
∴∠FEC+∠F=180°，
∴AF∥CE，
∴四邊形ACEF是平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定方法，與三角形中位線定理得出E為AB邊的中點是解決問題的關(guān)鍵．