Question

如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為E，F(xiàn)為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CBF=∠CDB．

（1）求證：FB為⊙O的切線；

（2）若AB=8，CE=2，求sin∠F．

Answer 1

（1）證明：連接OB．

∵CD是直徑，

∴∠CBD=90°，

又∵OB=OD，

∴∠OBD=∠D，

又∠CBF=∠D，

∴∠CBF=∠OBD，

∴∠OBF=90°，即OB⊥BF，

∴FB是圓的切線；

（2）解：∵CD是圓的直徑，CD⊥AB，

∴BE=AB=4，

設(shè)圓的半徑是R，在直角△OEB中，根據(jù)勾股定理得：R²=（R﹣2）²+4²，

解得：R=5，

∵∠BOE=∠FOB，∠BEO=∠OBF，

∴△OBE∽△OBF，

∴OB²=OE•OF，

∴OF==，

則在直角△OBF中，sinF===．