Question

【題目】如圖，對稱軸為的拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為．

求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

為軸上的一點(diǎn)，當(dāng)的周長最小時，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的周長．

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)；（2），的周長最小值．

【解析】

（1）根據(jù)題意得出方程組，求出b和c的值，得出拋物線的解析式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求出C（0，3），得出C點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′（0，﹣3），連接C′D交x軸于M，則△MCD的周長最小，由待定系數(shù)法求出直線C′D的解析式，即可得出M（，0），過D作DE⊥y軸于E，得出DE=1，CD=1，C′E=7，由勾股定理求出CD=，C′D=5，即可得出△MCD的周長最小值．

（1）根據(jù)題意得：，解得：b=2，c=3，∴拋物線的解析式為y═﹣x2+2x+3，當(dāng)x=1時，y=﹣1+2+3=4，∴頂點(diǎn)D（1，4）；

（2）當(dāng)x=0時，y=3，∴C（0，3），∴C點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′（0，﹣3），連接C′D交x軸于M，則△MCD的周長最小，CM=C′M，設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b（k≠0），∴，∴k=7，∴y=7x﹣3，當(dāng)y=0時，7x﹣3=0，解得：x=，∴M（，0），過D作DE⊥y軸于E．

∵C（0，3），D（1，4），∴DE=1，CD=1，C′E=7，∴CD=，C′D=5，∴△MCD的周長最小值=+5=6．