Question

【題目】如圖，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個120°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E．

（1）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（2）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？說明理由；

（3）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？請在圖3中畫出圖形，若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給出證明。

Answer 1

【答案】（1）OD+OE=OC，證明詳見解析；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為OE﹣OD=OC，證明詳見解析.

【解析】

(1)先判斷出∠OCE=60°,再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD=OC, 同理：OE=OC ,進而得出結(jié)論;(2)同(1)的方法得出OF+OG=OC,再判斷出△CFD≌△CGE,得出DF=EG,最后根據(jù)等量代換求解；(3)同(2)的方法得出結(jié)論即可.

解：（1）∵OM是∠AOB的角平分線，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，

∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，

在Rt△OCD中，OD=OCcos30°=OC，

同理：OE=OC，∴OD+OE=OC；

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：

過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，

∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，

同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，

∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，∴CF=CG，

∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，

∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，

∴OD+OE=OC；

（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE﹣OD=OC，

理由：過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，

∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，

同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，

∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，

∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，

∴OE﹣OD=OC．