Question

【題目】（2015南通）如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F分別在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求證：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF．

Answer 1

【答案】答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，再由垂直的定義得到一對(duì)直角相等，利用等式的性質(zhì)等到一對(duì)角相等，利用ASA即可得證；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，在Rt△ADH中，有AD=2DH，在Rt△DEB中，有EB=2DH，易得四邊形EBFD為平行四邊形，利用平行四邊形的對(duì)邊相等得到EB=DF，等量代換即可得證.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=CB，∠A=∠C，AD//CB，

∴∠ADB=∠CBD，

∵ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，

在△AED和△CFB中，∠ADE=∠CBD，AD=BC，∠A=∠C，∴△AED≌△CFB（ASA）；

（2）作DH⊥AB，垂足為H，

在R t△ADH在，∠A=30°，∴AD=2DH，

在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，

∵∠EDB=∠FBD=90°，∴DE//BF，又∵DC//AB，∴四邊形DEBF是平行四邊形，

∴FD=BE，∴DA=DF.