Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c過A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三點，點P是x軸上的動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖甲所示，連接AC、CP、PB、BA，是否存在點P，使四邊形ABPC為等腰梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）點H是題中拋物線對稱軸l上的動點，如圖乙所示，求四邊形AHPB周長的最小值．

Answer 1

解：∵拋物線y=ax²+bx+c過A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三點，
∴
解得：，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+2x+2；

（2）∵A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2），
∴AC=，AB=，
①若PC∥AB，則過點B作BE∥y軸，過點A作AE∥x軸，交點為E，
∴AE=1.5，BE=1，
當時，AB∥PC，
∴，
∴OP=，
∴點P的坐標為：（，0），
∴BP=，
∴AP≠BC，
∴此點不符合要求，舍去；
②若BP∥AC，則過點A作AE∥y軸，過點C作CE∥x軸，相交于點E，過點B作BF∥y軸，
當時，BP∥AC，
∴，
解得：PF=4，
∴點P與點O重合，
∴PC=2≠AB．
∴此點不符合要求，舍去；

（3）過A作對稱軸的對稱點A′，過B作x軸對稱點B′，連接A′B′，分別交對稱軸與x軸于H點、P點，則這兩點即為所求．
∴AH=AH′，PB=PB′，
∴AB+AH+PH+PB=AB+A′H+HP+PB′=AB+A′B′，
∵拋物線的y=-x²+2x+2的對稱軸為：x=2，
∵A（3，3.5），B（4，2），
∴A′（1，3.5），B′（4，-2），
∴AB=，A′B′=，
∴四邊形AHPB周長的最小值為：+．
分析：（1）利用待定系數(shù)法，將點A，B，C的坐標代入解析式即可求得；
（2）根據(jù)等腰梯形的判定方法分別從PC∥AB與BP∥AC去分析，注意不要漏解；
（3）首先確定點P與點H的位置，再求解各線段的長即可．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰梯形的判定與性質(zhì)以及周長和最小問題．此題比較復雜，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應用．