Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，∠BAD=120°，M為BC上的點（M不與B、C重合），若△AMN有一角等于60°．
（1）當M為BC中點時，則△ABM的面積為

3

8

a2

（結(jié)果用含a的式子表示）；
（2）求證：△AMN為等邊三角形；
（3）設△AMN的面積為S，求出S的取值范圍（結(jié)果用含a的式子表示）．

Answer 1

分析：首先證明四邊形ABCD為菱形，根據(jù)條件找出相等的線段和角：
（1）利用三角形的面積計算方法直接計算；
（2）分三種情況探討：①當∠MAN=60°時，連接AC，證△ABM≌△ACN；②當∠AMN=60°時，在AB上截取BE=BM，先證△BEM是等邊三角形，再證△AEM≌△MCN；③當∠ANM=60°時，方法同②；
（3）據(jù)圖可知：當M與A重合，N與C重合時，△AMN的面積最大；當M為BC的中點，N為CD的中點時，△AMN的面積最小．

解答：解：如圖，

在四邊形ABCD中，
∵AB=BC=CD=DA，
∴四邊形ABCD是菱形，
又∵∠BAD=120°，
∴∠BCD=120°，∠B=∠D=60°，
連AC則，∠BAC=∠DAC=60°，∠BCA=∠DCA=60°，AC=AB=AD．
（1）如上圖，
當M為BC中點時，
∴AM⊥BC，
∴S_△ABM=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

a×

3

2

a=

3

8

a2；

（2）①、如圖1：

如果∠MAN=60°，
則∠MAC+∠CAN=60°，∵∠BAC=60°，
∴∠BAM+∠MAC=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
AB=AC，
∠B=∠ACN=60°，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∴△AMN是正三角形；
②、如圖2：
如果∠AMN=60°，
則∠AMC=∠B+∠1=60°+∠1，
∵∠AMC=60°+∠2，
∴∠1=∠2，
又∵∠AMN=∠ACN=60°，
∴A、M、C、N 四點共圓，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
AB=AC，
∠B=∠ACN=60°，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∴△AMN是正三角形；
③、如圖3，
如果∠ANM=60°，
則∠ANC=∠D+∠6=60°+∠6，
∵∠ANC=60°+∠5，
∴∠5=∠6，
又∵∠ANM=∠ACM=60°，
∴A、N、C、M 四點共圓，
∴∠4=∠5，
∴∠4=∠6，
AC=AD，
∠ACM=∠D=60°，
∴△AMC≌△AND，
∴AMAN，
∴△AMN是正三角形；

（3）最大S_△ABM=

1

2

S_菱形ABCD=

1

2

a×

3

2

a=

3

4

a²，
最小S_△ABM=

1

2

×

3

2

a×

3

4

a=

3 3

16

a²，
∴

3 3

16

a²≤S_△ABM≤

3

4

a²．

點評：此題考查菱形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定，等邊三角形面積的計算方法等知識點．