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(2012•松江區(qū)二模)已知直線y=3x-3分別與x軸、y軸交于點A,B,拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點A,B.
(1)求該拋物線的表達(dá)式,并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo);
(2)記該拋物線的對稱軸為直線l,點B關(guān)于直線l的對稱點為C,若點D在y軸的正半軸上,且四邊形ABCD為梯形.
①求點D的坐標(biāo);
②將此拋物線向右平移,平移后拋物線的頂點為P,其對稱軸與直線y=3x-3交于點E,若tan∠DPE=
37
,求四邊形BDEP的面積.
分析:(1)先根據(jù)直線y=3x-3分別與x軸、y軸交于點A,B兩點求出A、B兩點的坐標(biāo),再把AB兩點的坐標(biāo)代入
拋物線y=ax2+2x+c即可得出a、c的值,進而得出拋物線的解析式,故可得出其對稱軸方程及頂點坐標(biāo);
(2)①由于B、C兩點關(guān)于直線x=-1對稱,故C(-2,-3),BC∥x軸,點D在y軸的正半軸所以AD不能平行于BC,故AB∥CD,設(shè)直線CD的解析式為y=3x+b,把C點坐標(biāo)代入即可得出直線CD的解析式,故可得出D點坐標(biāo);
②作DF⊥PE于F,則PF=7,在Rt△DFP中,tan∠DPE=
DF
PF
=
DF
7
=
3
7
可得出DF的長,再把x的值代入直線AB即可得出y的值,故可得出E點坐標(biāo),由梯形的面積公式即可求出四邊形BDEP的面積.
解答:解:(1)∵直線y=3x-3分別與x軸、y軸交于點A,B,
∴A(1,0),B(0,-3),
∵拋物線y=ax2+2x+c過點A(1,0),B(0,-3)
a+2+c=0
c=-3
,
解得
a=1
c=-3

∴y=x2+2x-3,
∴y=(x+1)2-4,
∴對稱軸為直線x=-1,頂點坐標(biāo)為(-1,-4);

(2)①∵B、C兩點關(guān)于直線x=-1對稱,
∴C(-2,-3),BC∥x軸
∴AB∥CD,設(shè)直線CD的解析式為y=3x+b,
∵C(-2,-3),
∴-6+b=-3,
∴b=3,
∴直線CD的解析式為y=3x+3
∴D(0,3),
②作DF⊥PE于F,則PF=7,
在Rt△DFP中,tan∠DPE=
DF
PF
=
DF
7
=
3
7
,
∴DF=3,
∴P(3,-4),即EP的方程為x=3,
∵點E在直線y=3x-3上,
∴y=3×3-3=6,
∴點E(3,6),
∴S四邊形BDEP=
1
2
(BD+EP)•DF=
1
2
(6+10)×3=24.
點評:本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、梯形的面積公式等知識點,根據(jù)題意畫出圖形,利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.
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