Question

設P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點，PE垂直AC于點E，PF垂直BC于點F，PG垂直EF于點G，延長GP并在其延長線上取一點D，使得PD=PC，試證：BC⊥BD，且BC=BD．

Answer 1

解：∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠ACB=90°，
∴CEPF是矩形（三角都是直角的四邊形是矩形），
∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵PG⊥EF，
∴∠PEF+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠APE=∠BPF=45°，
∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，
即∠APG=∠CPB，
∵∠BPD=∠APG（對頂角相等），
∴∠BPD=∠CPB，
又∵PC=PD，PB是公共邊，
∴△PBC≌△PBD（SAS），
∴BC=BD，∠PBC=∠PBD=45°，
∴∠PBC+∠PBD=90°，
即BC⊥BD．
故證得：BC⊥BD，且BC=BD．
分析：此題關鍵是證△PBC≌△PDB，已有PC=PD，PB是公共邊，只需再證明∠BPD=∠CPB，而∠BPD=∠APG，則證明∠APG=∠CPB，進而需要證明∠1=∠2，可利用同角的余角相等證明．
點評：本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，綜合利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，和矩形的判定和性質(zhì)等知識點，難度較大．