Question

3．已知關(guān)于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：不論m為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；
（2）若拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式；（溫馨提示：整數(shù)點的橫、縱坐標都為整數(shù)）
（3）若點P（x₁，y₁）與Q（x₁+n，y₂）在（2）中拋物線上 （點P、Q不重合），且y₁=y₂，求代數(shù)式4x₁²+12x₁n+5n²+16n+2000的值．

Answer 1

分析 （1）分m=0與m≠0兩種情況進行討論即可；
（2）令y=0，則 mx²+（3m+1）x+3=0，求出x的值，再由拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)得出m的值，代入拋物線的解析式即可；
（3）把點P（x₁，y₁）與Q（x₁+n，y₂）代入拋物線的解析式，根據(jù)y₁=y₂可得出2x₁=-n-4，代入代數(shù)式進行計算即可．

解答 解：（1）當m=0時，原方程化為x+3=0，
此時方程有實數(shù)根x=-3．
當m≠0時，原方程為一元二次方程．
∵△=（3m+1）²-12m=9m²-6m+1=（3m-1）²≥0，
∴此時方程有兩個實數(shù)根．
綜上，不論m為任何實數(shù)時，方程mx²+（3m+1）x+3=0總有實數(shù)根．


（2）∵令y=0，則 mx²+（3m+1）x+3=0．
解得x₁=-3，x₂=-$\frac{1}{m}$．
∵拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，
∴m=1．
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3．

（3）∵點P（x₁，y₁）與Q（x₁+n，y₂）在拋物線上，
∴y₁=x₁²+4x₁+3，y₂=（x₁+n）²+4（x₁+n）+3，
∵y₁=y₂，
∴x₁²+4x₁+3=（x₁+n）²+4（x₁+n）+3，
可得n（2x₁+n+4）=0．
∵點P，Q不重合，
∴n≠0．
∴2x₁=-n-4．
∴4x₁²+12x₁n+5n²+16n+2000=（2x₁）²+2x₁-6n+5n²+16n+2000=（n+4）²+6n（-n-4）+5n²+16n+2000=2016．

點評 本題考查的是拋物線與x軸的交點，在解答（1）時要注意進行分類討論，不要漏解．