Question

如圖所示，在形狀和大小不確定的△ABC中，BC＝6，E、F分別是AB、AC的中點，P在EF或EF的延長線上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，設(shè)BP＝y(tǒng)，PE＝x．

(1)當(dāng)x＝EF時，求S_△DPE：S_△DBC的值；

(2)當(dāng)CQ＝CE時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)①當(dāng)CQ＝CE時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)CQ＝CE(n為不小于2的常數(shù))時，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根據(jù)中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)可以求得S△DPE∶S△DBC的值； 　　(2)(3)問的解答，采用一般到特殊的方法．解答中首先給出了一般性結(jié)論的證明，即當(dāng)EQ＝kCQ(k＞0)時，y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為：y＝6k－x；然后將該關(guān)系式應(yīng)用到第(2)(3)問中求解．在解題過程中，充分利用了相似三角形比例線段之間的關(guān)系．另外，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)得出了一個重要結(jié)論((2)中①式子)，該結(jié)論在解題過程中發(fā)揮了重要作用． 　　解答：解：(1)∵E、F分別是AB、AC的中點，x＝EF， 　　∴EF∥BC，且EF＝BC， 　　∴△EDP∽△CDB， 　　∴＝， 　　∴S△DPE：S△DBC＝1：36； 　　(2)如右圖，設(shè)CQ＝a，DE＝b，BD＝c，則DP＝y(tǒng)－c； 　　不妨設(shè)EQ＝kCQ＝ka(k＞0)，則DQ＝ka－b，CD＝(k＋1)a－b． 　　過Q點作QM⊥BC于點M，作QN⊥BP于點N， 　　∵BQ平分∠CBP，∴QM＝QN． 　　∴， 　　又∵， 　　∴，即① 　　∵EP∥BC，∴，即② 　　∵EP∥BC，∴，即③ 　　由①②③式聯(lián)立解得：y＝6k－x④ 　　當(dāng)CQ＝CE時，k＝1，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝6－x． 　　(3)當(dāng)CQ＝CE時，k＝2，由(2)中④式可知，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝12－x； 　　當(dāng)CQ＝CE(n為不小于2的常數(shù))時，k＝n－1，由(2)中④式可知，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝6(n－1)－x； 　　點評：本題綜合考查了相似三角形線段之間的比例關(guān)系、三角形中位線定理和角平分線性質(zhì)等重要知識點，難度較大．在解題過程中，涉及到數(shù)目較多的線段和較為復(fù)雜的運算，注意不要出錯．本題第(2)(3)問，采用了從一般到特殊的解題思想，簡化了解答過程；同學(xué)們亦可嘗試從特殊到一般的解題思路，即當(dāng)CQ＝CE時，CQ＝CE時分別探究y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后推廣到當(dāng)CQ＝CE(n為不小于2的常數(shù))時的一般情況．

提示：

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；角平分線的性質(zhì)；三角形中位線定理．