Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx²+3x+5+m與x軸交于A、B兩點（點A
在點B的左側），與y軸交于點C（0，4），D為OC的中點．
（1）求m的值；
（2）拋物線的對稱軸與 x軸交于點E，在直線AD上是否存在點F，使得以點A、B、F為頂點的三角形與△ADE相似？若存在，請求出點F的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點G，使△GBC中BC邊上的高為？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線y=mx²+3m+5+m與y軸交于點C（0，4），
∴5+m=4．
∴m=-1．



（2）拋物線的解析式為 y=-x²+3x+4．
可求拋物線與x軸的交點A（-1，0），B（4，0）．
可求點E的坐標．
由圖知，點F在x軸下方的直線AD上時，△ABF是鈍角三角形，不可能與△ADE相似，所以點F一定在x軸上方．
此時△ABF與△ADE有一個公共角，兩個三角形相似存在兩種情況：
①當時，由于E為AB的中點，此時D為AF的中點，
可求 F點坐標為（1，4）．
②當時，，
解得：AF=．
如圖（2）過F點作FH⊥x軸，垂足為H．
∴．
∵D是OC的中點，
∴OD=2，
∴由勾股定理得：
AD=，
∴，
∴OH=，
由勾股定理得：
FH==5
∴F的坐標為（，5）

（3）在拋物線的對稱軸上存在符合題意的點G．
由題意，可知△OBC為等腰直角三角形，直線BC為y=-x+4．
如圖（3）∵MQ∥BC，QP=，由勾股定理，得
∴CQ=5
∴可求與直線BC平行且距離為的直線為y=-x+9或y=-x-1．
∴點G在直線y=-x+9或y=-x-1上．
∵拋物線的對稱軸是直線，
∴或，
解得：或．
∴點G的坐標為（，）或（，-）．
分析：（1）由拋物線y=mx²+3m+5+m與y軸交于點C（0，4），把C點的坐標代入解析式建立方程，求出方程的解，就可以求出m的值．
（2）先求出拋物線與x軸的交點坐標，根據(jù)拋物線的對稱性求出E點的坐標，然后根據(jù)對應角不同的情況就可以求出F的不同坐標．
（3）先由待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后由題目的條件求出與直線BC平行且距離為的直線的解析式，再由拋物線的對稱軸與這些與BC平行的直線的解析式構建方程組求出其解，就可以求出G的坐標．
點評：本題考查了兩條直線相交或平行的問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理的運用．