在平面直角坐標系中,A、B兩點的坐標分別為A(3,2),B(1,5).
(1)若點P的坐標為(0,m),當(dāng)m= 時,△PAB的周長最短;
(2)若點C、D的坐標分別為(0,a)、(0,a+4),則當(dāng)a= 時,四邊形ABDC的周長最短.
【答案】
分析:(1)如圖1,AB的長度一定,要使△PAB的周長取最小值,需要滿足PA+PB取最小值,利用軸對稱的性質(zhì)確定點P的位置,求出A'B的函數(shù)解析式后即可得出點P的坐標;
(2)如圖2,作點A關(guān)于x軸的對稱點A′,則A′的坐標為(-3,2),把A′向上平移4個單位得到點B'(-3,6),連接BB′,與y軸交于點D,易得四邊形A′B′DC為平行四邊形,得到CA′=DB′=CA,則AC+BD=BB′,根據(jù)兩點之間線段最短得到此時(AC+BD)最小,即四邊形ABDC的周長最短.然后用待定系數(shù)法求出直線BB′的解析式y(tǒng)=4x-17,易得D點坐標為
(0,
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),則有a+4=
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,即可求出a的值.
解答:
解:(1)如圖,過點A作關(guān)于y軸的對稱點A',連接A'B,則A'B與y軸的交點即為點P的位置,
∵點A的坐標為(3,2),
∴點A'的坐標為(-3,2),
設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b,則
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,
解得
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,
即直線A'B的解析式為y=
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x+
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,
∵點P的坐標為(0,m),且點P在直線A′B上,
∴m=
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.
(2)解:如圖2,作點A關(guān)于x軸的對稱點A′,則A′的坐標為(-3,2),把A′向上平移4個單位得到點B'(-3,6),連接BB′,與y軸交于點D,
∴CA′=CA,
又∵點C、D的坐標分別為(0,a)、(0,a+4),
∴CD=4,
∴A′B′∥CD,
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∴四邊形A′B′DC為平行四邊形,
∴CA′=DB′,
∴CA=DB′,
∴AC+BD=BB′,此時AC+BD最小,
而CD與AB的長一定,
∴此時四邊形ABDC的周長最短.
易得直線BB′的解析式為y=-
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x+
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,
∵點D在直線BB′上,且D(0,a+4),
∴a+4=
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.
解得a=
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.
故答案是:

;
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點評:本題考查了軸對稱-最短路線問題:通過對稱,把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段,利用兩點之間線段最短解決問題.也考查了坐標變換以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.