Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．若AB=2，則CD的長為

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：設BE=x，則AE=AB-BE=2-x過C作CE⊥AB，過A作AF⊥DC，利用四邊形的內角和求出∠DCA的度數(shù)，進而求出∠FCA=30°，∠CAE=30°，∠DAF=105°-30°-30°=60°，再利用直角三角形的性質和銳角三角形函數(shù)以及勾股定理即可求出CD的長．
解答：解：設BE=x，則AE=AB-BE=2-x
過C作CE⊥AB，過A作AF⊥DC，
∴∠DFA=∠CEA=90°，
∵∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，
∴∠DCA=360°-105°-105°-45°-45°=60°，
∴∠FCA=30°，
∵∠ACB=105°，∠B=45°，
∴∠ACE=105°-45°=60°，
∴∠CAE=30°，
∴∠DAF=105°-30°-30°=60°，
∵AB=2，
∴CE=BE=x，
∴，
∴x=-1，
∴AC=2x=2-2，
∴AF==3-，
∵∠D=∠DAF=45°，
∴AF=DF=3-，
∴DC=CF+DF=-1+3-=2，
故選B．
點評：本題考查了四邊形的內角和、三角形的內角和、含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半以及勾股定理的運用．